Номер 839, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 839, страница 141.

Условие.

839. Разложите на множители:

1) $3x^2 + 12xy;$

2) $10m^5 - 5m;$

3) $ab - ac + 7b - 7c;$

4) $6x - xy - 6y + y^2;$

5) $49b^2 - c^2;$

6) $p^2 + 12pk + 36k^2;$

7) $100a^4 - \frac{1}{9}b^2;$

8) $25a^2 - (a - 3)^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для разложения на множители данного выражения $3x^2 + 12xy$ необходимо найти и вынести за скобки общий множитель. Наибольшим общим делителем для одночленов $3x^2$ и $12xy$ является $3x$.

Представим каждый член выражения в виде произведения с общим множителем $3x$:

$3x^2 = 3x \cdot x$

$12xy = 3x \cdot 4y$

Теперь вынесем $3x$ за скобки:

$3x^2 + 12xy = 3x(x + 4y)$.

Ответ: $3x(x + 4y)$.

2) Для разложения на множители выражения $10m^5 - 5m$ вынесем за скобки общий множитель. Наибольшим общим делителем для одночленов $10m^5$ и $5m$ является $5m$.

Выносим $5m$ за скобки:

$10m^5 - 5m = 5m \cdot 2m^4 - 5m \cdot 1 = 5m(2m^4 - 1)$.

Ответ: $5m(2m^4 - 1)$.

3) Для разложения на множители выражения $ab - ac + 7b - 7c$ применим метод группировки. Сгруппируем попарно слагаемые, имеющие общие множители.

Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым:

$(ab - ac) + (7b - 7c)$.

Из первой группы вынесем общий множитель $a$, а из второй — $7$:

$a(b - c) + 7(b - c)$.

Теперь мы видим общий для обоих слагаемых множитель $(b - c)$, который также выносим за скобки:

$(a + 7)(b - c)$.

Ответ: $(a + 7)(b - c)$.

4) Для разложения на множители выражения $6x - xy - 6y + y^2$ используем метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым.

$(6x - 6y) + (-xy + y^2)$.

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $6$, а во второй — $-y$:

$6(x - y) - y(x - y)$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - y)$:

$(6 - y)(x - y)$.

Ответ: $(6 - y)(x - y)$.

5) Выражение $49b^2 - c^2$ является разностью квадратов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В данном случае $x^2 = 49b^2 = (7b)^2$, следовательно $x = 7b$. А $y^2 = c^2$, следовательно $y = c$.

Применяя формулу, получаем:

$49b^2 - c^2 = (7b - c)(7b + c)$.

Ответ: $(7b - c)(7b + c)$.

6) Выражение $p^2 + 12pk + 36k^2$ является полным квадратом суммы. Для его разложения на множители используем формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.

Проверим, соответствует ли выражение этой формуле. Первый член $p^2 = (p)^2$, значит $x = p$. Третий член $36k^2 = (6k)^2$, значит $y = 6k$.

Средний член должен быть равен удвоенному произведению $x$ и $y$: $2xy = 2 \cdot p \cdot 6k = 12pk$. Он совпадает со средним членом в исходном выражении.

Следовательно, выражение сворачивается в квадрат суммы:

$p^2 + 12pk + 36k^2 = (p + 6k)^2$.

Ответ: $(p + 6k)^2$.

7) Выражение $100a^4 - \frac{1}{9}b^2$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В данном случае $x^2 = 100a^4 = (10a^2)^2$, откуда $x = 10a^2$.

Второй член $y^2 = \frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{3}b)^2$, откуда $y = \frac{1}{3}b$.

Подставляем в формулу разности квадратов:

$100a^4 - \frac{1}{9}b^2 = (10a^2 - \frac{1}{3}b)(10a^2 + \frac{1}{3}b)$.

Ответ: $(10a^2 - \frac{1}{3}b)(10a^2 + \frac{1}{3}b)$.

8) Выражение $25a^2 - (a - 3)^2$ также является разностью квадратов. Воспользуемся формулой $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Здесь $x^2 = 25a^2 = (5a)^2$, значит $x = 5a$. А $y^2 = (a - 3)^2$, значит $y = a - 3$.

Подставляем в формулу и не забываем про скобки при вычитании:

$25a^2 - (a - 3)^2 = (5a - (a - 3))(5a + (a - 3))$.

Раскроем внутренние скобки и упростим выражения в каждой из полученных скобок:

$(5a - a + 3)(5a + a - 3) = (4a + 3)(6a - 3)$.

Заметим, что из второй скобки $(6a - 3)$ можно вынести общий множитель $3$:

$(4a + 3) \cdot 3(2a - 1)$.

Для стандартной записи множитель-число ставят в начало:

$3(4a + 3)(2a - 1)$.

Ответ: $3(4a + 3)(2a - 1)$.