Номер 840, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 840, страница 141.

Условие.

840. Решите уравнение:

1) $(x-4)(x+3)=0$;

2) $x^2-81=0$;

3) $7x^2+21x=0$;

4) $9x^2-6x+1=0$;

5) $x(x+7)(3x-2)=0$;

6) $12x^3-2x^2=0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x - 4)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:
$x - 4 = 0$ или $x + 3 = 0$.
Решая первое уравнение, получаем $x_1 = 4$.
Решая второе уравнение, получаем $x_2 = -3$.
Ответ: -3; 4.

2) $x^2 - 81 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Мы можем решить его, перенеся 81 в правую часть уравнения:
$x^2 = 81$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти значения $x$:
$x = \pm\sqrt{81}$
Уравнение имеет два корня: $x_1 = 9$ и $x_2 = -9$.
Альтернативный способ — разложить левую часть по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(x - 9)(x + 9) = 0$
Это приводит к тем же корням: $x=9$ и $x=-9$.
Ответ: -9; 9.

3) $7x^2 + 21x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $7x$ за скобки:
$7x(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, мы имеем два возможных случая:
1) $7x = 0$, откуда получаем $x_1 = 0$.
2) $x + 3 = 0$, откуда получаем $x_2 = -3$.
Ответ: -3; 0.

4) $9x^2 - 6x + 1 = 0$
Это полное квадратное уравнение. Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = 3x$ и $b = 1$, так как $(3x)^2 = 9x^2$, $1^2 = 1$ и $2 \cdot (3x) \cdot 1 = 6x$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(3x - 1)^2 = 0$
Это уравнение имеет один корень (кратности 2):
$3x - 1 = 0$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

5) $x(x + 7)(3x - 2) = 0$
Произведение трех множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти все корни:
1) $x_1 = 0$.
2) $x + 7 = 0$, откуда $x_2 = -7$.
3) $3x - 2 = 0$, откуда $3x = 2$, и $x_3 = \frac{2}{3}$.
Ответ: -7; 0; $\frac{2}{3}$.

6) $12x^3 - 2x^2 = 0$
Для решения этого кубического уравнения вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки:
$2x^2(6x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $2x^2 = 0$, откуда $x^2 = 0$, что дает корень $x_1 = 0$.
2) $6x - 1 = 0$, откуда $6x = 1$, что дает корень $x_2 = \frac{1}{6}$.
Ответ: 0; $\frac{1}{6}$.