Номер 845, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 845, страница 144.

Условие.

845. Завершите разложение на множители:

1) $9a^2b^2 - 6ab^2 + b^2 = b^2(9a^2 - 6a + 1) = \dots$;

2) $4b^2c - 20abc + 25a^2c = c(4b^2 - 20ab + 25a^2) = \dots$;

3) $-3m^3 + 6m^2n - 3mn^2 = -3m(m^2 - 2mn + n^2) = \dots$

Решение 1.

Решение 5.

1) Для завершения разложения выражения $9a^2b^2 - 6ab^2 + b^2 = b^2(9a^2 - 6a + 1)$ необходимо разложить на множители трехчлен в скобках $9a^2 - 6a + 1$. Данный трехчлен является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае:

• Квадрат первого члена: $x^2 = 9a^2$, откуда $x = 3a$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = 1$, откуда $y = 1$.
• Удвоенное произведение первого и второго членов со знаком минус: $-2xy = -2 \cdot 3a \cdot 1 = -6a$.

Так как все члены совпадают с формулой, то $9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$. Подставляя это в исходное выражение, получаем итоговое разложение.
$9a^2b^2 - 6ab^2 + b^2 = b^2(9a^2 - 6a + 1) = b^2(3a - 1)^2$.
Ответ: $b^2(3a - 1)^2$.

2) Для завершения разложения выражения $4b^2c - 20abc + 25a^2c = c(4b^2 - 20ab + 25a^2)$ необходимо разложить на множители трехчлен в скобках $4b^2 - 20ab + 25a^2$. Этот трехчлен также является полным квадратом разности и соответствует формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае:

• Квадрат первого члена: $x^2 = 4b^2$, откуда $x = 2b$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = 25a^2$, откуда $y = 5a$.
• Удвоенное произведение первого и второго членов со знаком минус: $-2xy = -2 \cdot 2b \cdot 5a = -20ab$.

Все члены совпадают с формулой, следовательно, $4b^2 - 20ab + 25a^2 = (2b - 5a)^2$. Получаем итоговое разложение.
$4b^2c - 20abc + 25a^2c = c(4b^2 - 20ab + 25a^2) = c(2b - 5a)^2$.
Ответ: $c(2b - 5a)^2$.

3) Для завершения разложения выражения $-3m^3 + 6m^2n - 3mn^2 = -3m(m^2 - 2mn + n^2)$ необходимо разложить на множители трехчлен в скобках $m^2 - 2mn + n^2$. Трехчлен $m^2 - 2mn + n^2$ является классическим примером квадрата разности, который раскладывается по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x = m$ и $y = n$. Следовательно, $m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2$. Подставляя это в исходное выражение, получаем итоговое разложение.
$-3m^3 + 6m^2n - 3mn^2 = -3m(m^2 - 2mn + n^2) = -3m(m - n)^2$.
Ответ: $-3m(m - n)^2$.