Номер 849, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 849, страница 144.

Условие.

849. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $a^4 - b^4$;

2) $c^4 - 81$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $a^4 - b^4$:

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим исходное выражение в виде разности квадратов. Так как $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$, мы можем применить эту формулу.

На первом шаге разложения, полагая $x = a^2$ и $y = b^2$, получаем:

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$

Заметим, что первый множитель в полученном произведении, $(a^2 - b^2)$, также является разностью квадратов и может быть разложен далее по той же формуле.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Второй множитель, $(a^2 + b^2)$, является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Подставляя разложение $(a^2 - b^2)$ в выражение, полученное на первом шаге, мы получаем окончательный результат:

$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$

Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$

2) $c^4 - 81$:

Для разложения этого многочлена также применяется формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Сначала представим многочлен в виде разности квадратов. Заметим, что $c^4 = (c^2)^2$ и $81 = 9^2$.

Применим формулу, где $x = c^2$ и $y = 9$:

$c^4 - 81 = (c^2)^2 - 9^2 = (c^2 - 9)(c^2 + 9)$

Множитель $(c^2 - 9)$ снова является разностью квадратов, так как $9$ можно представить как $3^2$. Разложим его:

$c^2 - 9 = c^2 - 3^2 = (c - 3)(c + 3)$

Множитель $(c^2 + 9)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговое разложение на множители:

$(c - 3)(c + 3)(c^2 + 9)$

Ответ: $(c - 3)(c + 3)(c^2 + 9)$