Номер 851, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 851, страница 144.

Условие.

851. Завершите разложение на множители:

1) $16x - 2x^4 = 2x(8 - x^3) = ...;$

2) $3a^5 + 375a^2 = 3a^2(a^3 + 125) = ... .$

Решение 1.

Решение 5.

1) Завершим разложение на множители выражения $16x - 2x^4 = 2x(8 - x^3)$.
Выражение в скобках, $8 - x^3$, представляет собой разность кубов. Для его разложения применим формулу сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В данном случае, $a = 2$, так как $2^3 = 8$, и $b = x$.
Подставим эти значения в формулу:
$8 - x^3 = 2^3 - x^3 = (2 - x)(2^2 + 2 \cdot x + x^2) = (2 - x)(4 + 2x + x^2)$.
Теперь подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:
$2x(8 - x^3) = 2x(2 - x)(4 + 2x + x^2)$.
Таким образом, полное разложение на множители завершено.

Ответ: $2x(2 - x)(4 + 2x + x^2)$

2) Завершим разложение на множители выражения $3a^5 + 375a^2 = 3a^2(a^3 + 125)$.
Выражение в скобках, $a^3 + 125$, представляет собой сумму кубов. Для его разложения применим формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В данном случае, первый член — это $a$, а второй — $b = 5$, так как $5^3 = 125$.
Подставим эти значения в формулу:
$a^3 + 125 = a^3 + 5^3 = (a + 5)(a^2 - a \cdot 5 + 5^2) = (a + 5)(a^2 - 5a + 25)$.
Теперь подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:
$3a^2(a^3 + 125) = 3a^2(a + 5)(a^2 - 5a + 25)$.
Таким образом, полное разложение на множители завершено.

Ответ: $3a^2(a + 5)(a^2 - 5a + 25)$