Номер 858, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

858. Разложите на множители:

1) $(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2;$

2) $81 - (x^2 + 6x)^2;$

3) $a^2 + 2ab + b^2 - c^2;$

4) $c^2 + 4c + 4 - k^2;$

5) $9a^2 + c^2 + 6ac - 9;$

6) $a^2 - b^2 - 10b - 25;$

7) $49 - y^2 + x^2 - 14x;$

8) $mn^2 - m^3 - 12m^2 - 36m.$

Для решения этих заданий мы будем использовать комбинацию методов: группировку слагаемых для выделения полного квадрата $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ и последующее применение формулы разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

1) Заметим, что $4a^2b^2 = (2ab)^2$. Применим разность квадратов:
$(a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2 = (a^2 + b^2 - 2ab)(a^2 + b^2 + 2ab)$
В каждой скобке получились формулы полного квадрата:
$(a - b)^2 (a + b)^2$
Ответ: $(a - b)^2 (a + b)^2$

2) Здесь разность квадратов $9^2 - (x^2 + 6x)^2$:
$(9 - (x^2 + 6x))(9 + (x^2 + 6x)) = (9 - x^2 - 6x)(9 + x^2 + 6x)$
Вторая скобка — это $(x + 3)^2$. В первой вынесем минус: $-(x^2 + 6x - 9)$, но это не полный квадрат. Оставим так:
$(9 - 6x - x^2)(x + 3)^2$
Ответ: $(9 - 6x - x^2)(x + 3)^2$

3) Первые три слагаемых образуют квадрат суммы:
$(a^2 + 2ab + b^2) - c^2 = (a + b)^2 - c^2$
Теперь разность квадратов:
$(a + b - c)(a + b + c)$
Ответ: $(a + b - c)(a + b + c)$

4) Аналогично, группируем первые три члена:
$(c^2 + 4c + 4) - k^2 = (c + 2)^2 - k^2$
Разность квадратов:
$(c + 2 - k)(c + 2 + k)$
Ответ: $(c + 2 - k)(c + 2 + k)$

5) Переставим слагаемые:
$(9a^2 + 6ac + c^2) - 9 = (3a + c)^2 - 3^2$
Разность квадратов:
$(3a + c - 3)(3a + c + 3)$
Ответ: $(3a + c - 3)(3a + c + 3)$

6) Вынесем минус у трех последних слагаемых:
$a^2 - (b^2 + 10b + 25) = a^2 - (b + 5)^2$
Разность квадратов:
$(a - (b + 5))(a + (b + 5)) = (a - b - 5)(a + b + 5)$
Ответ: $(a - b - 5)(a + b + 5)$

7) Перегруппируем:
$49 + (x^2 - 14x - y^2)$ — так не выйдет. Попробуем иначе:
$(x^2 - 14x + 49) - y^2 = (x - 7)^2 - y^2$
Разность квадратов:
$(x - 7 - y)(x - 7 + y)$
Ответ: $(x - 7 - y)(x - 7 + y)$

8) Сначала вынесем общий множитель $-m$:
$-m(m^2 + 12m + 36 - n^2)$
Внутри скобки выделим полный квадрат:
$-m((m + 6)^2 - n^2)$
Разложим как разность квадратов:
$-m(m + 6 - n)(m + 6 + n)$
Ответ: $-m(m + 6 - n)(m + 6 + n)$