Номер 858, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 858, страница 145.

Условие.

858. Разложите на множители:

1) $(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2;$

2) $81 - (x^2 + 6x)^2;$

3) $a^2 + 2ab + b^2 - c^2;$

4) $c^2 + 4c + 4 - k^2;$

5) $9a^2 + c^2 + 6ac - 9;$

6) $a^2 - b^2 - 10b - 25;$

7) $49 - y^2 + x^2 - 14x;$

8) $mn^2 - m^3 - 12m^2 - 36m.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Дано выражение $(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2$.
Заметим, что второй член можно представить как квадрат: $4a^2b^2 = (2ab)^2$.
Тогда исходное выражение принимает вид разности квадратов: $(a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^2 + b^2$ и $y = 2ab$.
Получаем: $((a^2 + b^2) - 2ab)((a^2 + b^2) + 2ab)$.
Упростим выражения в каждой скобке. Первое выражение в скобках является полным квадратом разности, а второе — полным квадратом суммы.
$(a^2 - 2ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2) = (a - b)^2(a + b)^2$.
Ответ: $(a - b)^2(a + b)^2$.

2) Дано выражение $81 - (x^2 + 6x)^2$.
Представим $81$ как $9^2$. Выражение примет вид $9^2 - (x^2 + 6x)^2$.
Это разность квадратов. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 9$ и $b = x^2 + 6x$.
Получаем: $(9 - (x^2 + 6x))(9 + (x^2 + 6x))$.
Раскроем внутренние скобки: $(9 - x^2 - 6x)(9 + x^2 + 6x)$.
Вторые скобки $x^2 + 6x + 9$ являются полным квадратом суммы: $(x+3)^2$.
Перепишем выражение, упорядочив члены в первых скобках: $(9 - 6x - x^2)(x + 3)^2$.
Ответ: $(9 - 6x - x^2)(x + 3)^2$.

3) Дано выражение $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$.
Сгруппируем первые три члена: $(a^2 + 2ab + b^2) - c^2$.
Выражение в скобках является формулой квадрата суммы: $(a + b)^2$.
Теперь выражение имеет вид: $(a + b)^2 - c^2$.
Это разность квадратов. Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a + b$ и $y = c$.
Получаем: $((a + b) - c)((a + b) + c) = (a + b - c)(a + b + c)$.
Ответ: $(a + b - c)(a + b + c)$.

4) Дано выражение $c^2 + 4c + 4 - k^2$.
Сгруппируем первые три члена: $(c^2 + 4c + 4) - k^2$.
Выражение в скобках является формулой квадрата суммы: $(c + 2)^2$.
Теперь выражение имеет вид: $(c + 2)^2 - k^2$.
Это разность квадратов. Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = c + 2$ и $y = k$.
Получаем: $((c + 2) - k)((c + 2) + k) = (c - k + 2)(c + k + 2)$.
Ответ: $(c - k + 2)(c + k + 2)$.

5) Дано выражение $9a^2 + c^2 + 6ac - 9$.
Перегруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат: $(9a^2 + 6ac + c^2) - 9$.
Выражение в скобках является квадратом суммы: $(3a)^2 + 2(3a)(c) + c^2 = (3a + c)^2$.
Выражение принимает вид: $(3a + c)^2 - 9$.
Представим $9$ как $3^2$: $(3a + c)^2 - 3^2$.
Применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 3a + c$ и $y = 3$.
Получаем: $((3a + c) - 3)((3a + c) + 3) = (3a + c - 3)(3a + c + 3)$.
Ответ: $(3a + c - 3)(3a + c + 3)$.

6) Дано выражение $a^2 - b^2 - 10b - 25$.
Сгруппируем члены, содержащие $b$, и вынесем знак минус за скобки: $a^2 - (b^2 + 10b + 2