Номер 863, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 863, страница 145.

Условие.

863. Представьте в виде произведения выражение:

1) $x^2(x+4) - 20x(x+4) + 100(x+4);$

2) $a^2 - 36 - 2a(36 - a^2) - a^2(36 - a^2);$

3) $a^2(b - 1) - b^2(a - 1);$

4) $(m - n)(n^3 - p^3) - (n - p)(m^3 - n^3).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Данное выражение: $x^2(x + 4) - 20x(x + 4) + 100(x + 4)$.
Мы видим, что у всех трех слагаемых есть общий множитель $(x+4)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 4)(x^2 - 20x + 100)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 - 20x + 100$. Оно представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = x$, а $b = 10$, так как $x^2 = x^2$ и $100 = 10^2$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 10 = 20x$.
Таким образом, $x^2 - 20x + 100 = (x - 10)^2$.
Подставив это обратно, получаем итоговое произведение.
Ответ: $(x + 4)(x - 10)^2$

2) Данное выражение: $a^2 - 36 - 2a(36 - a^2) - a^2(36 - a^2)$.
Сначала сгруппируем первые два члена: $(a^2 - 36)$. Заметим, что $a^2 - 36 = -(36 - a^2)$. Перепишем выражение:
$-(36 - a^2) - 2a(36 - a^2) - a^2(36 - a^2)$.
Теперь мы видим общий множитель $(36 - a^2)$, который можно вынести за скобки:
$(36 - a^2)(-1 - 2a - a^2)$.
Вынесем знак минус из второй скобки:
$(36 - a^2)(-(1 + 2a + a^2))$.
Выражение в скобках $1 + 2a + a^2$ является полным квадратом суммы $(a+1)^2$.
Получаем: $-(36 - a^2)(a + 1)^2$.
Первый множитель $(36 - a^2)$ можно разложить по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $36 - a^2 = (6 - a)(6 + a)$.
Подставим это в наше выражение: $-(6 - a)(6 + a)(a + 1)^2$.
Чтобы избавиться от минуса перед выражением, умножим его на скобку $(6 - a)$, что изменит знаки в ней на противоположные: $(a - 6)$.
Ответ: $(a - 6)(a + 6)(a + 1)^2$

3) Данное выражение: $a^2(b - 1) - b^2(a - 1)$.
Раскроем скобки, чтобы перегруппировать члены:
$a^2b - a^2 - ab^2 + b^2$.
Сгруппируем члены следующим образом: $(a^2b - ab^2) + (b^2 - a^2)$.
Из первой группы вынесем общий множитель $ab$. Вторую группу разложим по формуле разности квадратов:
$ab(a - b) + (b - a)(b + a)$.
Заметим, что $(b - a) = -(a - b)$. Заменим это в выражении:
$ab(a - b) - (a - b)(a + b)$.
Теперь мы можем вынести общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)(ab - (a + b))$.
Раскроем внутренние скобки для окончательного вида.
Ответ: $(a - b)(ab - a - b)$

4) Данное выражение: $(m - n)(n^3 - p^3) - (n - p)(m^3 - n^3)$.
Воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ для выражений в скобках:
$n^3 - p^3 = (n - p)(n^2 + np + p^2)$
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$
Подставим эти разложения в исходное выражение:
$(m - n)(n - p)(n^2 + np + p^2) - (n - p)(m - n)(m^2 + mn + n^2)$.
Видим общий множитель $(m - n)(n - p)$, вынесем его за скобки:
$(m - n)(n - p) \left[ (n^2 + np + p^2) - (m^2 + mn + n^2) \right]$.
Упростим выражение в квадратных скобках:
$n^2 + np + p^2 - m^2 - mn - n^2 = np + p^2 - m^2 - mn$.
Перегруппируем члены внутри скобок для дальнейшего разложения:
$(p^2 - m^2) + (np - mn)$.
Первая группа — разность квадратов, из второй вынесем $n$:
$(p - m)(p + m) + n(p - m)$.
Теперь вынесем общий множитель $(p-m)$:
$(p - m)(p + m + n)$.
Соберем все вместе:
$(m - n)(n - p)(p - m)(m + n + p)$.
Ответ: $(m - n)(n - p)(p - m)(m + n + p)$