Номер 866, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 866, страница 146.

Условие.

866. Является ли тождеством равенство:

1) $(a-1)^3 - 9(a-1) = (a-1)(a-4)(a+2);$

2) $(x^2+1)^2 - 4x^2 = (x-1)^2(x+1)^2?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы проверить, является ли равенство $(a-1)^3 - 9(a-1) = (a-1)(a-4)(a+2)$ тождеством, нужно доказать, что оно выполняется при любых значениях переменной $a$. Для этого преобразуем левую часть равенства.
Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:
$(a-1)^3 - 9(a-1) = (a-1)((a-1)^2 - 9)$.
Выражение во вторых скобках $((a-1)^2 - 9)$ является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = (a-1)$ и $y = 3$:
$(a-1)^2 - 3^2 = ((a-1) - 3)((a-1) + 3)$.
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(a-1-3)(a-1+3) = (a-4)(a+2)$.
Теперь подставим полученный результат обратно в преобразование левой части:
$(a-1)((a-1)^2 - 9) = (a-1)(a-4)(a+2)$.
В результате мы получили, что левая часть тождественно равна правой части:
$(a-1)(a-4)(a+2) = (a-1)(a-4)(a+2)$.
Это означает, что исходное равенство является тождеством.
Ответ: да, является.

2) Чтобы проверить, является ли равенство $(x^2+1)^2 - 4x^2 = (x-1)^2(x+1)^2$ тождеством, преобразуем его левую часть.
Заметим, что выражение $4x^2$ можно представить как $(2x)^2$. Тогда левая часть является разностью квадратов вида $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = (x^2+1)$ и $b = 2x$:
$(x^2+1)^2 - (2x)^2 = ((x^2+1) - 2x)((x^2+1) + 2x)$.
Перегруппируем слагаемые внутри скобок, чтобы получить стандартный вид квадратных трехчленов:
$(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$.
Каждое из этих выражений является формулой сокращенного умножения (квадрат разности и квадрат суммы):
$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$
Таким образом, левая часть после преобразований имеет вид:
$(x-1)^2(x+1)^2$.
Сравнивая полученное выражение с правой частью исходного равенства, видим, что они идентичны:
$(x-1)^2(x+1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2$.
Следовательно, исходное равенство является тождеством.
Ответ: да, является.