Номер 871, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 871, страница 146.

Условие.

871. Разложите на множители выражение:

1) $(x - y)(x + y) + 2(x + 3y) - 8;$

2) $(2a - 3b)(2a + 3b) - 4(a + 3b) - 3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дано выражение: $(x - y)(x + y) + 2(x + 3y) - 8$.

Первым шагом раскроем скобки. Выражение $(x - y)(x + y)$ является формулой разности квадратов:

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$

Теперь раскроем вторую скобку, умножив 2 на каждый член внутри нее:

$2(x + 3y) = 2x + 6y$

Подставим эти результаты обратно в исходное выражение:

$x^2 - y^2 + 2x + 6y - 8$

Для дальнейшего разложения на множители сгруппируем члены с переменной $x$ и члены с переменной $y$, чтобы затем применить метод выделения полного квадрата:

$(x^2 + 2x) + (-y^2 + 6y) - 8 = (x^2 + 2x) - (y^2 - 6y) - 8$

Теперь выделим полные квадраты для каждой группы. Для $x^2 + 2x$ нужно добавить и отнять $1^2=1$:

$x^2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1)^2 - 1$

Для $y^2 - 6y$ нужно добавить и отнять $3^2=9$:

$y^2 - 6y + 9 - 9 = (y - 3)^2 - 9$

Подставим полные квадраты в наше выражение:

$((x + 1)^2 - 1) - ((y - 3)^2 - 9) - 8$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x + 1)^2 - 1 - (y - 3)^2 + 9 - 8 = (x + 1)^2 - (y - 3)^2$

Мы получили разность квадратов, которую можно разложить по формуле $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = x + 1$ и $B = y - 3$:

$((x + 1) - (y - 3))((x + 1) + (y - 3))$

Упростим выражения в каждой из полученных скобок:

Первая скобка: $x + 1 - y + 3 = x - y + 4$

Вторая скобка: $x + 1 + y - 3 = x + y - 2$

Ответ: $(x - y + 4)(x + y - 2)$.

2)

Дано выражение: $(2a - 3b)(2a + 3b) - 4(a + 3b) - 3$.

Как и в предыдущем задании, начнем с раскрытия скобок. Выражение $(2a - 3b)(2a + 3b)$ — это разность квадратов:

$(2a - 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$

Раскроем вторую скобку:

$-4(a + 3b) = -4a - 12b$

Теперь подставим все в исходное выражение:

$4a^2 - 9b^2 - 4a - 12b - 3$

Сгруппируем члены с переменной $a$ и члены с переменной $b$:

$(4a^2 - 4a) + (-9b^2 - 12b) - 3 = (4a^2 - 4a) - (9b^2 + 12b) - 3$

Выделим полные квадраты. Для $4a^2 - 4a = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot 1$ нужно добавить и отнять $1^2=1$:

$4a^2 - 4a + 1 - 1 = (2a - 1)^2 - 1$

Для $9b^2 + 12b = (3b)^2 + 2 \cdot (3b) \cdot 2$ нужно добавить и отнять $2^2=4$:

$9b^2 + 12b + 4 - 4 = (3b + 2)^2 - 4$

Подставим полученные полные квадраты в выражение:

$((2a - 1)^2 - 1) - ((3b + 2)^2 - 4) - 3$

Раскроем скобки и упростим константы:

$(2a - 1)^2 - 1 - (3b + 2)^2 + 4 - 3 = (2a - 1)^2 - (3b + 2)^2$

Это снова разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A = 2a - 1$ и $B = 3b + 2$. Разложим ее на множители:

$((2a - 1) - (3b + 2))((2a - 1) + (3b + 2))$

Упростим выражения в скобках:

Первая скобка: $2a - 1 - 3b - 2 = 2a - 3b - 3$

Вторая скобка: $2a - 1 + 3b + 2 = 2a + 3b + 1$

Ответ: $(2a - 3b - 3)(2a + 3b + 1)$.