Номер 870, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 870, страница 146.

Условие.

870. Докажите тождество:

1) $(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(a+c);$

2) $(a-b)^3 + (b-c)^3 - (a-c)^3 = -3(a-b)(b-c)(a-c).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Докажем тождество $(a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a + b)(b + c)(a + c)$, преобразовав его левую часть.

Сгруппируем слагаемые: $((a + b + c)^3 - a^3) - (b^3 + c^3)$.

Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ к выражению $((a + b + c)^3 - a^3)$. Пусть $x = a+b+c$ и $y = a$:

$((a+b+c) - a)((a+b+c)^2 + a(a+b+c) + a^2) = (b+c)((a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) + (a^2+ab+ac) + a^2) = (b+c)(3a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+2bc)$.

Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ к выражению $b^3 + c^3$:

$b^3 + c^3 = (b+c)(b^2-bc+c^2)$.

Теперь подставим полученные разложения в сгруппированное выражение:

$(b+c)(3a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+2bc) - (b+c)(b^2-bc+c^2)$.

Вынесем общий множитель $(b+c)$ за скобки:

$(b+c)((3a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+2bc) - (b^2-bc+c^2))$.

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(b+c)(3a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+2bc - b^2+bc-c^2) = (b+c)(3a^2+3ab+3ac+3bc)$.

Вынесем общий множитель $3$ из второй скобки:

$3(b+c)(a^2+ab+ac+bc)$.

Разложим на множители выражение во второй скобке методом группировки:

$a^2+ab+ac+bc = a(a+b)+c(a+b) = (a+b)(a+c)$.

В итоге получаем:

$3(b+c)(a+b)(a+c)$.

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть $(a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3$ после преобразований равна правой части $3(a + b)(b + c)(a + c)$.

2) Докажем тождество $(a - b)^3 + (b - c)^3 - (a - c)^3 = -3(a - b)(b - c)(a - c)$, используя метод замены переменных.

Пусть $x = a-b$ и $y = b-c$.

Тогда выразим $a-c$ через $x$ и $y$: $a-c = (a-b)+(b-c) = x+y$.

Подставим эти обозначения в левую часть тождества:

$(a - b)^3 + (b - c)^3 - (a - c)^3 = x^3 + y^3 - (x+y)^3$.

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:

$x^3 + y^3 - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = x^3 + y^3 - x^3 - 3x^2y - 3xy^2 - y^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$-3x^2y - 3xy^2$.

Вынесем общий множитель $-3xy$ за скобки:

$-3xy(x+y)$.

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $x$, $y$ и $(x+y)$ их исходные выражения через $a, b, c$:

$-3(a-b)(b-c)(a-c)$.

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть $(a - b)^3 + (b - c)^3 - (a - c)^3$ после преобразований равна правой части $-3(a - b)(b - c)(a - c)$.