Страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

864. Решите уравнение:

1) $x^3 - 4x = 0;$

2) $x^4 - x^2 = 0;$

3) $x^5 - 36x^3 = 0;$

4) $9x^3 - x = 0;$

5) $x^3 - 10x^2 + 25x = 0;$

6) $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0;$

7) $x^3 - 5x^2 + 4x - 20 = 0;$

8) $x^5 - x^4 - x + 1 = 0.$

1) $x^3 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x = 0$

2) $x^2 - 4 = 0$. Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$

$x = 2$ или $x = -2$

Корни уравнения: $0$, $-2$, $2$.

Ответ: $0; -2; 2$.

2) $x^4 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 1) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $x^2 - 1 = 0$. Разложим по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

$x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$

$x = 1$ или $x = -1$

Корни уравнения: $0$, $-1$, $1$.

Ответ: $0; -1; 1$.

3) $x^5 - 36x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(x^2 - 36) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $x^2 - 36 = 0$. Разложим по формуле разности квадратов:

$(x - 6)(x + 6) = 0$

$x - 6 = 0$ или $x + 6 = 0$

$x = 6$ или $x = -6$

Корни уравнения: $0$, $-6$, $6$.

Ответ: $0; -6; 6$.

4) $9x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(9x^2 - 1) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x = 0$

2) $9x^2 - 1 = 0$. Разложим по формуле разности квадратов:

$(3x - 1)(3x + 1) = 0$

$3x - 1 = 0$ или $3x + 1 = 0$

$3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$

$3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$

Корни уравнения: $0$, $-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}$.

Ответ: $0; -\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.

5) $x^3 - 10x^2 + 25x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 10x + 25) = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$x(x - 5)^2 = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x = 0$

2) $(x - 5)^2 = 0 \Rightarrow x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

Корни уравнения: $0$, $5$.

Ответ: $0; 5$.

6) $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + 2x^2) - (9x + 18) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 9) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

2) $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow x=3$ или $x=-3$

Корни уравнения: $-3$, $-2$, $3$.

Ответ: $-3; -2; 3$.

7) $x^3 - 5x^2 + 4x - 20 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 5x^2) + (4x - 20) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^2(x - 5) + 4(x - 5) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:

$(x - 5)(x^2 + 4) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

2) $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Единственный действительный корень уравнения: $5$.

Ответ: $5$.

8) $x^5 - x^4 - x + 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^5 - x^4) - (x - 1) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^4(x - 1) - 1(x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^4 - 1) = 0$

Множитель $(x^4 - 1)$ можно разложить как разность квадратов:

$(x - 1)(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$

Множитель $(x^2 - 1)$ также является разностью квадратов:

$(x - 1)(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0$

$(x - 1)^2(x + 1)(x^2 + 1) = 0$

Получаем три уравнения:

1) $(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

2) $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

3) $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Корни уравнения: $-1$, $1$.

Ответ: $-1; 1$.

865. Решите уравнение:

1) $x^3 - x = 0;$

2) $x^4 + x^2 = 0;$

3) $x^4 - 8x^3 = 0;$

4) $49x^3 + 14x^2 + x = 0;$

5) $x^3 + x^2 - x - 1 = 0;$

6) $x^3 - 4x^2 - 25x + 100 = 0.$

Дано уравнение: $x^3 - x = 0$.

Для решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три возможных случая:

$x = 0$

или $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$

или $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-1; 0; 1$.

Дано уравнение: $x^4 + x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $x^2 + 1 = 0$, откуда $x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, единственным действительным корнем исходного уравнения является $x = 0$.

Ответ: $0$.

Дано уравнение: $x^4 - 8x^3 = 0$.

Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x^3 = 0$ или $x - 8 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x = 0$.

Из второго уравнения получаем $x = 8$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 8$.

Дано уравнение: $49x^3 + 14x^2 + x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(49x^2 + 14x + 1) = 0$

Выражение в скобках $49x^2 + 14x + 1$ представляет собой полный квадрат суммы, так как соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=7x$ и $b=1$:

$49x^2 + 14x + 1 = (7x)^2 + 2 \cdot (7x) \cdot 1 + 1^2 = (7x + 1)^2$

Тогда уравнение принимает вид:

$x(7x + 1)^2 = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $(7x + 1)^2 = 0$.

Из второго уравнения следует: $7x + 1 = 0 \implies 7x = -1 \implies x = -1/7$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1/7; 0$.

Дано уравнение: $x^3 + x^2 - x - 1 = 0$.

Для решения этого уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 + x^2) - (x + 1) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 1(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$(x + 1)(x^2 - 1) = 0$

Второй множитель, $x^2 - 1$, является разностью квадратов, которую можно разложить на $(x-1)(x+1)$.

$(x + 1)(x - 1)(x + 1) = 0$, что эквивалентно $(x + 1)^2(x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$(x + 1)^2 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$.

или $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Уравнение имеет два различных корня.

Ответ: $-1; 1$.

Дано уравнение: $x^3 - 4x^2 - 25x + 100 = 0$.

Применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(x^3 - 4x^2) - (25x - 100) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 4) - 25(x - 4) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)(x^2 - 25) = 0$

Второй множитель, $x^2 - 25$, является разностью квадратов: $x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 4)(x - 5)(x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 4 = 0 \implies x = 4$

или $x - 5 = 0 \implies x = 5$

или $x + 5 = 0 \implies x = -5$

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-5; 4; 5$.

866. Является ли тождеством равенство:

1) $(a-1)^3 - 9(a-1) = (a-1)(a-4)(a+2);$

2) $(x^2+1)^2 - 4x^2 = (x-1)^2(x+1)^2?$

1) Чтобы проверить, является ли равенство $(a-1)^3 - 9(a-1) = (a-1)(a-4)(a+2)$ тождеством, нужно доказать, что оно выполняется при любых значениях переменной $a$. Для этого преобразуем левую часть равенства.
Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:
$(a-1)^3 - 9(a-1) = (a-1)((a-1)^2 - 9)$.
Выражение во вторых скобках $((a-1)^2 - 9)$ является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = (a-1)$ и $y = 3$:
$(a-1)^2 - 3^2 = ((a-1) - 3)((a-1) + 3)$.
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(a-1-3)(a-1+3) = (a-4)(a+2)$.
Теперь подставим полученный результат обратно в преобразование левой части:
$(a-1)((a-1)^2 - 9) = (a-1)(a-4)(a+2)$.
В результате мы получили, что левая часть тождественно равна правой части:
$(a-1)(a-4)(a+2) = (a-1)(a-4)(a+2)$.
Это означает, что исходное равенство является тождеством.
Ответ: да, является.

2) Чтобы проверить, является ли равенство $(x^2+1)^2 - 4x^2 = (x-1)^2(x+1)^2$ тождеством, преобразуем его левую часть.
Заметим, что выражение $4x^2$ можно представить как $(2x)^2$. Тогда левая часть является разностью квадратов вида $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = (x^2+1)$ и $b = 2x$:
$(x^2+1)^2 - (2x)^2 = ((x^2+1) - 2x)((x^2+1) + 2x)$.
Перегруппируем слагаемые внутри скобок, чтобы получить стандартный вид квадратных трехчленов:
$(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$.
Каждое из этих выражений является формулой сокращенного умножения (квадрат разности и квадрат суммы):
$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$
Таким образом, левая часть после преобразований имеет вид:
$(x-1)^2(x+1)^2$.
Сравнивая полученное выражение с правой частью исходного равенства, видим, что они идентичны:
$(x-1)^2(x+1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2$.
Следовательно, исходное равенство является тождеством.
Ответ: да, является.

867. Докажите тождество:

1) $(a+2)^3 - 25(a+2) = (a+2)(a+7)(a-3);$

2) $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d).$

1) Для доказательства тождества $(a+2)^3 - 25(a+2) = (a+2)(a+7)(a-3)$ преобразуем его левую часть.

Вынесем общий множитель $(a+2)$ за скобки:

$(a+2)^3 - 25(a+2) = (a+2)((a+2)^2 - 25)$

Выражение в скобках $((a+2)^2 - 25)$ является разностью квадратов, так как $25 = 5^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a+2$ и $y = 5$:

$(a+2)((a+2)^2 - 5^2) = (a+2)((a+2-5)(a+2+5))$

Упростим выражения во внутренних скобках:

$(a+2)((a-3)(a+7)) = (a+2)(a-3)(a+7)$

Переставив множители, получаем выражение, идентичное правой части исходного тождества:

$(a+2)(a+7)(a-3)$

Так как левая часть тождества равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)$ преобразуем его левую часть.

Сгруппируем слагаемые в левой части следующим образом:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (c^2 - 2cd + d^2)$

Первая группа слагаемых $(a^2 + 2ab + b^2)$ является полным квадратом суммы по формуле $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$, то есть $(a+b)^2$. Вторая группа слагаемых, взятая со знаком минус, $-(c^2 - 2cd + d^2)$, также является полным квадратом, но разности: $-(c-d)^2$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$(a+b)^2 - (c-d)^2$

Полученное выражение является разностью квадратов. Применим формулу $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$, где $X = a+b$ и $Y = c-d$:

$((a+b) - (c-d))((a+b) + (c-d))$

Раскроем внутренние скобки:

$(a+b-c+d)(a+b+c-d)$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества (множители $(a+b-c+d)$ и $(a+b+c-d)$ могут быть переставлены, что не меняет результат). Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

868. Разложите выражение на множители двумя способами:

а) примените формулу разности квадратов;

б) раскройте скобки и примените метод группировки:

1) $(ab+1)^2 - (a+b)^2$; 2) $(a+2b)^2 - (ab+2)^2$.

1) $(ab + 1)^2 - (a + b)^2$

а) примените формулу разности квадратов

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В нашем случае $x = ab + 1$ и $y = a + b$.

$(ab + 1)^2 - (a + b)^2 = ((ab + 1) - (a + b))((ab + 1) + (a + b))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(ab + 1 - a - b)(ab + 1 + a + b)$

Разложим на множители каждое выражение в скобках методом группировки:

Первая скобка: $ab - a - b + 1 = a(b - 1) - (b - 1) = (a - 1)(b - 1)$.

Вторая скобка: $ab + a + b + 1 = a(b + 1) + (b + 1) = (a + 1)(b + 1)$.

Подставим полученные выражения обратно:

$(a - 1)(b - 1)(a + 1)(b + 1)$

Сгруппируем множители, чтобы снова применить формулу разности квадратов:

$((a - 1)(a + 1)) \cdot ((b - 1)(b + 1)) = (a^2 - 1)(b^2 - 1)$

Ответ: $(a^2 - 1)(b^2 - 1)$.

б) раскройте скобки и примените метод группировки

Раскроем каждый квадрат по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(ab + 1)^2 = (ab)^2 + 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2 = a^2b^2 + 2ab + 1$.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Вычтем из первого выражения второе:

$(a^2b^2 + 2ab + 1) - (a^2 + 2ab + b^2) = a^2b^2 + 2ab + 1 - a^2 - 2ab - b^2$.

Сократим подобные члены ($2ab$ и $-2ab$):

$a^2b^2 - a^2 - b^2 + 1$.

Применим метод группировки:

$(a^2b^2 - a^2) - (b^2 - 1) = a^2(b^2 - 1) - (b^2 - 1)$.

Вынесем общий множитель $(b^2 - 1)$ за скобки:

$(a^2 - 1)(b^2 - 1)$.

Ответ: $(a^2 - 1)(b^2 - 1)$.

2) $(a + 2b)^2 - (ab + 2)^2$

а) примените формулу разности квадратов

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В данном случае $x = a + 2b$ и $y = ab + 2$.

$(a + 2b)^2 - (ab + 2)^2 = ((a + 2b) - (ab + 2))((a + 2b) + (ab + 2))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(a + 2b - ab - 2)(a + 2b + ab + 2)$

Разложим на множители каждое выражение в скобках методом группировки:

Первая скобка: $a - ab + 2b - 2 = a(1 - b) - 2(1 - b) = (a - 2)(1 - b)$.

Вторая скобка: $a + ab + 2b + 2 = a(1 + b) + 2(b + 1) = (a + 2)(b + 1)$.

Подставим полученные выражения обратно:

$(a - 2)(1 - b)(a + 2)(b + 1)$

Сгруппируем множители:

$((a - 2)(a + 2)) \cdot ((1 - b)(1 + b)) = (a^2 - 4)(1 - b^2)$

Ответ: $(a^2 - 4)(1 - b^2)$.

б) раскройте скобки и примените метод группировки

Раскроем каждый квадрат по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$.

$(ab + 2)^2 = (ab)^2 + 2 \cdot ab \cdot 2 + 2^2 = a^2b^2 + 4ab + 4$.

Вычтем из первого выражения второе:

$(a^2 + 4ab + 4b^2) - (a^2b^2 + 4ab + 4) = a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2b^2 - 4ab - 4$.

Сократим подобные члены ($4ab$ и $-4ab$):

$a^2 + 4b^2 - a^2b^2 - 4$.

Применим метод группировки:

$(a^2 - a^2b^2) + (4b^2 - 4) = a^2(1 - b^2) + 4(b^2 - 1) = a^2(1 - b^2) - 4(1 - b^2)$.

Вынесем общий множитель $(1 - b^2)$ за скобки:

$(a^2 - 4)(1 - b^2)$.

Ответ: $(a^2 - 4)(1 - b^2)$.

869. Представьте в виде куба двучлена выражение:

1) $a^3 + 3a^2 + 3a + 1;$

2) $b^3 - 6b^2 + 12b - 8.$

1) Чтобы представить выражение $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$ в виде куба двучлена, необходимо вспомнить и применить формулу куба суммы двух чисел:
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Сравним данное нам выражение с этой формулой.
Первый член выражения — это $a^3$. Логично предположить, что $x = a$.
Последний член выражения — это $1$, что можно представить как $1^3$. Следовательно, можно предположить, что $y = 1$.
Теперь необходимо проверить, соответствуют ли средние члены выражения нашей формуле при найденных $x=a$ и $y=1$.
Второй член по формуле: $3x^2y = 3 \cdot a^2 \cdot 1 = 3a^2$. Этот член совпадает со вторым членом в исходном выражении.
Третий член по формуле: $3xy^2 = 3 \cdot a \cdot 1^2 = 3a$. Этот член совпадает с третьим членом в исходном выражении.
Так как все члены выражения соответствуют разложению куба суммы $(a+1)$, мы можем записать:
$a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a+1)^3$.
Ответ: $(a+1)^3$.

2) Чтобы представить выражение $b^3 - 6b^2 + 12b - 8$ в виде куба двучлена, необходимо вспомнить и применить формулу куба разности двух чисел:
$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Сравним данное нам выражение с этой формулой. Обратим внимание на чередование знаков: плюс, минус, плюс, минус.
Первый член выражения — это $b^3$. Логично предположить, что $x = b$.
Последний член выражения — это $-8$, что можно представить как $-(2^3)$. Следовательно, можно предположить, что $y = 2$.
Теперь необходимо проверить, соответствуют ли средние члены выражения нашей формуле при найденных $x=b$ и $y=2$.
Второй член по формуле: $-3x^2y = -3 \cdot b^2 \cdot 2 = -6b^2$. Этот член совпадает со вторым членом в исходном выражении.
Третий член по формуле: $3xy^2 = 3 \cdot b \cdot 2^2 = 3 \cdot b \cdot 4 = 12b$. Этот член совпадает с третьим членом в исходном выражении.
Так как все члены выражения соответствуют разложению куба разности $(b-2)$, мы можем записать:
$b^3 - 6b^2 + 12b - 8 = (b-2)^3$.
Ответ: $(b-2)^3$.

870. Докажите тождество:

1) $(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(a+c);$

2) $(a-b)^3 + (b-c)^3 - (a-c)^3 = -3(a-b)(b-c)(a-c).$

1) Докажем тождество $(a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a + b)(b + c)(a + c)$, преобразовав его левую часть.

Сгруппируем слагаемые: $((a + b + c)^3 - a^3) - (b^3 + c^3)$.

Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ к выражению $((a + b + c)^3 - a^3)$. Пусть $x = a+b+c$ и $y = a$:

$((a+b+c) - a)((a+b+c)^2 + a(a+b+c) + a^2) = (b+c)((a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) + (a^2+ab+ac) + a^2) = (b+c)(3a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+2bc)$.

Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ к выражению $b^3 + c^3$:

$b^3 + c^3 = (b+c)(b^2-bc+c^2)$.

Теперь подставим полученные разложения в сгруппированное выражение:

$(b+c)(3a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+2bc) - (b+c)(b^2-bc+c^2)$.

Вынесем общий множитель $(b+c)$ за скобки:

$(b+c)((3a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+2bc) - (b^2-bc+c^2))$.

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(b+c)(3a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+2bc - b^2+bc-c^2) = (b+c)(3a^2+3ab+3ac+3bc)$.

Вынесем общий множитель $3$ из второй скобки:

$3(b+c)(a^2+ab+ac+bc)$.

Разложим на множители выражение во второй скобке методом группировки:

$a^2+ab+ac+bc = a(a+b)+c(a+b) = (a+b)(a+c)$.

В итоге получаем:

$3(b+c)(a+b)(a+c)$.

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть $(a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3$ после преобразований равна правой части $3(a + b)(b + c)(a + c)$.

2) Докажем тождество $(a - b)^3 + (b - c)^3 - (a - c)^3 = -3(a - b)(b - c)(a - c)$, используя метод замены переменных.

Пусть $x = a-b$ и $y = b-c$.

Тогда выразим $a-c$ через $x$ и $y$: $a-c = (a-b)+(b-c) = x+y$.

Подставим эти обозначения в левую часть тождества:

$(a - b)^3 + (b - c)^3 - (a - c)^3 = x^3 + y^3 - (x+y)^3$.

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:

$x^3 + y^3 - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = x^3 + y^3 - x^3 - 3x^2y - 3xy^2 - y^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$-3x^2y - 3xy^2$.

Вынесем общий множитель $-3xy$ за скобки:

$-3xy(x+y)$.

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $x$, $y$ и $(x+y)$ их исходные выражения через $a, b, c$:

$-3(a-b)(b-c)(a-c)$.

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть $(a - b)^3 + (b - c)^3 - (a - c)^3$ после преобразований равна правой части $-3(a - b)(b - c)(a - c)$.

871. Разложите на множители выражение:

1) $(x - y)(x + y) + 2(x + 3y) - 8;$

2) $(2a - 3b)(2a + 3b) - 4(a + 3b) - 3.$

1)

Дано выражение: $(x - y)(x + y) + 2(x + 3y) - 8$.

Первым шагом раскроем скобки. Выражение $(x - y)(x + y)$ является формулой разности квадратов:

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$

Теперь раскроем вторую скобку, умножив 2 на каждый член внутри нее:

$2(x + 3y) = 2x + 6y$

Подставим эти результаты обратно в исходное выражение:

$x^2 - y^2 + 2x + 6y - 8$

Для дальнейшего разложения на множители сгруппируем члены с переменной $x$ и члены с переменной $y$, чтобы затем применить метод выделения полного квадрата:

$(x^2 + 2x) + (-y^2 + 6y) - 8 = (x^2 + 2x) - (y^2 - 6y) - 8$

Теперь выделим полные квадраты для каждой группы. Для $x^2 + 2x$ нужно добавить и отнять $1^2=1$:

$x^2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1)^2 - 1$

Для $y^2 - 6y$ нужно добавить и отнять $3^2=9$:

$y^2 - 6y + 9 - 9 = (y - 3)^2 - 9$

Подставим полные квадраты в наше выражение:

$((x + 1)^2 - 1) - ((y - 3)^2 - 9) - 8$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x + 1)^2 - 1 - (y - 3)^2 + 9 - 8 = (x + 1)^2 - (y - 3)^2$

Мы получили разность квадратов, которую можно разложить по формуле $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = x + 1$ и $B = y - 3$:

$((x + 1) - (y - 3))((x + 1) + (y - 3))$

Упростим выражения в каждой из полученных скобок:

Первая скобка: $x + 1 - y + 3 = x - y + 4$

Вторая скобка: $x + 1 + y - 3 = x + y - 2$

Ответ: $(x - y + 4)(x + y - 2)$.

2)

Дано выражение: $(2a - 3b)(2a + 3b) - 4(a + 3b) - 3$.

Как и в предыдущем задании, начнем с раскрытия скобок. Выражение $(2a - 3b)(2a + 3b)$ — это разность квадратов:

$(2a - 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$

Раскроем вторую скобку:

$-4(a + 3b) = -4a - 12b$

Теперь подставим все в исходное выражение:

$4a^2 - 9b^2 - 4a - 12b - 3$

Сгруппируем члены с переменной $a$ и члены с переменной $b$:

$(4a^2 - 4a) + (-9b^2 - 12b) - 3 = (4a^2 - 4a) - (9b^2 + 12b) - 3$

Выделим полные квадраты. Для $4a^2 - 4a = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot 1$ нужно добавить и отнять $1^2=1$:

$4a^2 - 4a + 1 - 1 = (2a - 1)^2 - 1$

Для $9b^2 + 12b = (3b)^2 + 2 \cdot (3b) \cdot 2$ нужно добавить и отнять $2^2=4$:

$9b^2 + 12b + 4 - 4 = (3b + 2)^2 - 4$

Подставим полученные полные квадраты в выражение:

$((2a - 1)^2 - 1) - ((3b + 2)^2 - 4) - 3$

Раскроем скобки и упростим константы:

$(2a - 1)^2 - 1 - (3b + 2)^2 + 4 - 3 = (2a - 1)^2 - (3b + 2)^2$

Это снова разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A = 2a - 1$ и $B = 3b + 2$. Разложим ее на множители:

$((2a - 1) - (3b + 2))((2a - 1) + (3b + 2))$

Упростим выражения в скобках:

Первая скобка: $2a - 1 - 3b - 2 = 2a - 3b - 3$

Вторая скобка: $2a - 1 + 3b + 2 = 2a + 3b + 1$

Ответ: $(2a - 3b - 3)(2a + 3b + 1)$.

872. Представьте в виде произведения выражение:

1) $(5x - y^2)(5x + y^2) - 2(15x - 7y^2) - 40;$

2) $(3m - 2n)(12m + 5n) + 3m(3n + 4) - 2(3n^2 - 20n + 12).$

1) $(5x - y^2)(5x + y^2) - 2(15x - 7y^2) - 40$
Сначала упростим выражение, раскрыв скобки. Первое произведение является разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(5x - y^2)(5x + y^2) = (5x)^2 - (y^2)^2 = 25x^2 - y^4$.
Раскроем вторую скобку:
$-2(15x - 7y^2) = -30x + 14y^2$.
Теперь всё выражение имеет вид:
$25x^2 - y^4 - 30x + 14y^2 - 40$.
Перегруппируем слагаемые, чтобы применить метод выделения полного квадрата:
$(25x^2 - 30x) + (-y^4 + 14y^2) - 40$.
Выделим полный квадрат для выражения с переменной $x$:
$25x^2 - 30x = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $3^2=9$.
$(25x^2 - 30x + 9) - 9 = (5x - 3)^2 - 9$.
Выделим полный квадрат для выражения с переменной $y$:
$-y^4 + 14y^2 = -(y^4 - 14y^2) = -((y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 7)$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $7^2=49$.
$-((y^4 - 14y^2 + 49) - 49) = -((y^2 - 7)^2 - 49) = -(y^2 - 7)^2 + 49$.
Подставим полученные выражения обратно в исходное:
$((5x - 3)^2 - 9) + (-(y^2 - 7)^2 + 49) - 40 = (5x - 3)^2 - (y^2 - 7)^2 - 9 + 49 - 40$.
$(5x - 3)^2 - (y^2 - 7)^2 + 0 = (5x - 3)^2 - (y^2 - 7)^2$.
Мы получили разность квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 5x - 3$ и $B = y^2 - 7$. Применим эту формулу:
$((5x - 3) - (y^2 - 7))((5x - 3) + (y^2 - 7)) = (5x - 3 - y^2 + 7)(5x - 3 + y^2 - 7)$.
Упростим выражения в скобках:
$(5x - y^2 + 4)(5x + y^2 - 10)$.
Ответ: $(5x - y^2 + 4)(5x + y^2 - 10)$.

2) $(3m - 2n)(12m + 5n) + 3m(3n + 4) - 2(3n^2 - 20n + 12)$
Для начала раскроем все скобки в выражении:
$(3m - 2n)(12m + 5n) = 36m^2 + 15mn - 24mn - 10n^2 = 36m^2 - 9mn - 10n^2$.
$3m(3n + 4) = 9mn + 12m$.
$-2(3n^2 - 20n + 12) = -6n^2 + 40n - 24$.
Теперь сложим все полученные части:
$(36m^2 - 9mn - 10n^2) + (9mn + 12m) + (-6n^2 + 40n - 24)$.
Приведем подобные слагаемые:
$36m^2 - 9mn - 10n^2 + 9mn + 12m - 6n^2 + 40n - 24 = 36m^2 + 12m - 16n^2 + 40n - 24$.
Сгруппируем слагаемые по переменным и выделим полные квадраты:
$(36m^2 + 12m) - (16n^2 - 40n) - 24$.
Для $m$: $36m^2 + 12m = (6m)^2 + 2 \cdot 6m \cdot 1$. Добавим и вычтем $1^2=1$:
$(36m^2 + 12m + 1) - 1 = (6m + 1)^2 - 1$.
Для $n$: $16n^2 - 40n = (4n)^2 - 2 \cdot 4n \cdot 5$. Добавим и вычтем $5^2=25$:
$(16n^2 - 40n + 25) - 25 = (4n - 5)^2 - 25$.
Подставим обратно в сгруппированное выражение:
$((6m + 1)^2 - 1) - ((4n - 5)^2 - 25) - 24 = (6m + 1)^2 - 1 - (4n - 5)^2 + 25 - 24$.
$(6m + 1)^2 - (4n - 5)^2 - 1 + 25 - 24 = (6m + 1)^2 - (4n - 5)^2$.
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 6m + 1$ и $B = 4n - 5$:
$((6m + 1) - (4n - 5))((6m + 1) + (4n - 5)) = (6m + 1 - 4n + 5)(6m + 1 + 4n - 5)$.
Упростим выражения в скобках:
$(6m - 4n + 6)(6m + 4n - 4)$.
Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой скобки вынесем 2, и из второй скобки вынесем 2:
$2(3m - 2n + 3) \cdot 2(3m + 2n - 2) = 4(3m - 2n + 3)(3m + 2n - 2)$.
Ответ: $4(3m - 2n + 3)(3m + 2n - 2)$.

873. Разложите на множители трёхчлен, выделив предварительно квадрат двучлена:

1) $x^2 - 10x + 24;$

2) $a^2 + 4a - 32;$

3) $b^2 - 3b - 4;$

4) $4a^2 - 12a + 5;$

5) $9x^2 - 24xy + 7y^2;$

6) $36m^2 - 60mn + 21n^2.$

1) $x^2 - 10x + 24$

Чтобы выделить квадрат двучлена, представим $-10x$ как удвоенное произведение $2 \cdot x \cdot 5$. Для полного квадрата по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ нам не хватает слагаемого $5^2=25$. Добавим и вычтем $25$ из исходного трехчлена:

$x^2 - 10x + 24 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 24$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат, и вычислим оставшуюся часть:

$(x - 5)^2 - 1$

Теперь применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = (x - 5)$ и $B = 1$:

$(x - 5)^2 - 1^2 = ((x - 5) - 1)((x - 5) + 1) = (x - 6)(x - 4)$

Ответ: $(x - 4)(x - 6)$.

2) $a^2 + 4a - 32$

Выделим полный квадрат из выражения $a^2 + 4a$. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Здесь $x=a$, а $2ay = 4a$, откуда $y=2$. Для полного квадрата нужно слагаемое $y^2=2^2=4$. Добавим и вычтем 4:

$a^2 + 4a - 32 = (a^2 + 4a + 4) - 4 - 32$

Группируем первые три слагаемых и вычисляем остаток:

$(a + 2)^2 - 36$

Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = (a+2)$ и $B = \sqrt{36} = 6$:

$(a + 2)^2 - 6^2 = ((a + 2) - 6)((a + 2) + 6) = (a - 4)(a + 8)$

Ответ: $(a - 4)(a + 8)$.

3) $b^2 - 3b - 4$

Выделим полный квадрат из $b^2 - 3b$. По формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, имеем $x=b$, $-2by = -3b$, откуда $y = \frac{3}{2}$. Необходимое слагаемое равно $y^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$. Добавим и вычтем его:

$b^2 - 3b - 4 = (b^2 - 3b + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - 4$

Группируем полный квадрат и приводим константы к общему знаменателю:

$(b - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{16}{4} = (b - \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{4}$

Применяем формулу разности квадратов, где $A = (b - \frac{3}{2})$ и $B = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$:

$(b - \frac{3}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = ((b - \frac{3}{2}) - \frac{5}{2})((b - \frac{3}{2}) + \frac{5}{2}) = (b - \frac{8}{2})(b + \frac{2}{2}) = (b - 4)(b + 1)$

Ответ: $(b + 1)(b - 4)$.

4) $4a^2 - 12a + 5$

Представим $4a^2$ как $(2a)^2$. Для выделения полного квадрата $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ имеем $x=2a$. Средний член $-12a$ должен быть равен $-2xy$, то есть $-2 \cdot (2a) \cdot y = -12a$, откуда $y=3$. Для полного квадрата нужно слагаемое $y^2=3^2=9$. Представим $+5$ как $+9-4$:

$4a^2 - 12a + 5 = (4a^2 - 12a + 9) - 4$

Группируем слагаемые в полный квадрат:

$(2a - 3)^2 - 4$

Применяем формулу разности квадратов, где $A = (2a-3)$ и $B = \sqrt{4} = 2$:

$(2a - 3)^2 - 2^2 = ((2a - 3) - 2)((2a - 3) + 2) = (2a - 5)(2a - 1)$

Ответ: $(2a - 1)(2a - 5)$.

5) $9x^2 - 24xy + 7y^2$

Представим $9x^2$ как $(3x)^2$. Для выделения полного квадрата $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ имеем $a=3x$. Средний член $-24xy$ должен быть равен $-2ab$, то есть $-2 \cdot (3x) \cdot b = -24xy$, откуда $b=4y$. Для полного квадрата нужно слагаемое $b^2=(4y)^2=16y^2$. Представим $7y^2$ как $16y^2 - 9y^2$:

$9x^2 - 24xy + 7y^2 = (9x^2 - 24xy + 16y^2) - 16y^2 + 7y^2$

Группируем слагаемые, образующие полный квадрат:

$(3x - 4y)^2 - 9y^2$

Применяем формулу разности квадратов, где $A = (3x-4y)$ и $B = \sqrt{9y^2} = 3y$:

$(3x - 4y)^2 - (3y)^2 = ((3x - 4y) - 3y)((3x - 4y) + 3y) = (3x - 7y)(3x - y)$

Ответ: $(3x - y)(3x - 7y)$.

6) $36m^2 - 60mn + 21n^2$

Представим $36m^2$ как $(6m)^2$. Для выделения полного квадрата $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ имеем $a=6m$. Средний член $-60mn$ должен быть равен $-2ab$, то есть $-2 \cdot (6m) \cdot b = -60mn$, откуда $b=5n$. Для полного квадрата нужно слагаемое $b^2=(5n)^2=25n^2$. Представим $21n^2$ как $25n^2 - 4n^2$:

$36m^2 - 60mn + 21n^2 = (36m^2 - 60mn + 25n^2) - 25n^2 + 21n^2$

Группируем слагаемые в полный квадрат:

$(6m - 5n)^2 - 4n^2$

Применяем формулу разности квадратов, где $A = (6m-5n)$ и $B = \sqrt{4n^2} = 2n$:

$(6m - 5n)^2 - (2n)^2 = ((6m - 5n) - 2n)((6m - 5n) + 2n) = (6m - 7n)(6m - 3n)$

Во втором множителе $(6m - 3n)$ можно вынести за скобки общий множитель 3:

$(6m - 7n) \cdot 3(2m - n) = 3(2m - n)(6m - 7n)$

Ответ: $3(2m - n)(6m - 7n)$.

874. Разложите на множители многочлен:

1) $x^2 - 4x + 3;$

2) $a^2 + 2a - 24;$

3) $y^2 + 12y + 35;$

4) $x^2 + x - 6;$

5) $c^2 + 8cd + 15d^2;$

6) $9x^2 - 30xy + 16y^2.$

1) Для разложения на множители квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3$ необходимо найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при $x$ (то есть $-4$), а произведение равно свободному члену (то есть $3$). Такими числами являются $-1$ и $-3$, так как $-1 + (-3) = -4$ и $(-1) \cdot (-3) = 3$.
Теперь представим средний член $-4x$ в виде суммы $-x - 3x$ и выполним группировку:
$x^2 - 4x + 3 = x^2 - x - 3x + 3 = (x^2 - x) - (3x - 3)$
Вынесем общий множитель в каждой группе:
$x(x - 1) - 3(x - 1)$
Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:
$(x - 1)(x - 3)$
Ответ: $(x - 1)(x - 3)$

2) Для разложения многочлена $a^2 + 2a - 24$ найдем два числа, сумма которых равна $2$, а произведение равно $-24$. Этими числами являются $6$ и $-4$.
Представим член $2a$ как $6a - 4a$ и сгруппируем слагаемые:
$a^2 + 2a - 24 = a^2 + 6a - 4a - 24 = (a^2 + 6a) - (4a + 24)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$a(a + 6) - 4(a + 6)$
Вынесем общий множитель $(a+6)$:
$(a + 6)(a - 4)$
Ответ: $(a + 6)(a - 4)$

3) Чтобы разложить на множители $y^2 + 12y + 35$, ищем два числа, сумма которых равна $12$, а произведение — $35$. Это числа $5$ и $7$.
Представим $12y$ как $5y + 7y$ и сгруппируем:
$y^2 + 12y + 35 = y^2 + 5y + 7y + 35 = (y^2 + 5y) + (7y + 35)$
Вынесем общие множители:
$y(y + 5) + 7(y + 5)$
Вынесем общий множитель $(y+5)$:
$(y + 5)(y + 7)$
Ответ: $(y + 5)(y + 7)$

4) Для разложения $x^2 + x - 6$ найдем два числа, сумма которых равна $1$, а произведение — $-6$. Это числа $3$ и $-2$.
Представим $x$ как $3x - 2x$ и выполним группировку:
$x^2 + x - 6 = x^2 + 3x - 2x - 6 = (x^2 + 3x) - (2x + 6)$
Вынесем общие множители:
$x(x + 3) - 2(x + 3)$
Вынесем общий множитель $(x+3)$:
$(x + 3)(x - 2)$
Ответ: $(x + 3)(x - 2)$

5) Для разложения многочлена $c^2 + 8cd + 15d^2$ представим средний член $8cd$ в виде суммы двух одночленов. Для этого найдем два числа, сумма которых равна $8$, а произведение равно произведению коэффициентов при $c^2$ и $d^2$, то есть $1 \cdot 15 = 15$. Этими числами являются $3$ и $5$.
Представим $8cd$ как $3cd + 5cd$:
$c^2 + 8cd + 15d^2 = c^2 + 3cd + 5cd + 15d^2$
Сгруппируем слагаемые:
$(c^2 + 3cd) + (5cd + 15d^2)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$c(c + 3d) + 5d(c + 3d)$
Вынесем общий множитель $(c + 3d)$:
$(c + 3d)(c + 5d)$
Ответ: $(c + 3d)(c + 5d)$

6) Для разложения многочлена $9x^2 - 30xy + 16y^2$ представим средний член $-30xy$ в виде суммы. Найдем два числа, сумма которых равна $-30$, а произведение равно $9 \cdot 16 = 144$. Это числа $-6$ и $-24$.
Представим $-30xy$ как $-6xy - 24xy$:
$9x^2 - 30xy + 16y^2 = 9x^2 - 6xy - 24xy + 16y^2$
Сгруппируем слагаемые (обращая внимание на знак при вынесении минуса за скобку):
$(9x^2 - 6xy) - (24xy - 16y^2)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$3x(3x - 2y) - 8y(3x - 2y)$
Вынесем общий множитель $(3x - 2y)$:
$(3x - 2y)(3x - 8y)$
Ответ: $(3x - 2y)(3x - 8y)$

875. Значения переменных $x_1$ и $x_2$ таковы, что выполняются равенства

$x_1 - x_2 = 8, x_1x_2 = 5$. Найдите значение выражения:

1) $x_1x_2^2 - x_1^2x_2$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $(x_1 + x_2)^2$;

4) $x_1^3 - x_2^3$.

Даны значения: $x_1 - x_2 = 8$ и $x_1x_2 = 5$.

1) $x_1x_2^2 - x_1^2x_2$
Для нахождения значения данного выражения вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:
$x_1x_2^2 - x_1^2x_2 = x_1x_2(x_2 - x_1)$
Из условия известно, что $x_1 - x_2 = 8$. Тогда $x_2 - x_1 = -(x_1 - x_2) = -8$.
Теперь подставим известные значения $x_1x_2 = 5$ и $(x_2 - x_1) = -8$ в полученное выражение:
$5 \cdot (-8) = -40$
Ответ: -40

2) $x_1^2 + x_2^2$
Это выражение можно получить, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Возведем в квадрат известное нам равенство $x_1 - x_2 = 8$:
$(x_1 - x_2)^2 = 8^2$
$x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = 64$
Выразим из этого уравнения искомую сумму квадратов $x_1^2 + x_2^2$:
$x_1^2 + x_2^2 = 64 + 2x_1x_2$
Подставим известное значение $x_1x_2 = 5$:
$x_1^2 + x_2^2 = 64 + 2 \cdot 5 = 64 + 10 = 74$
Ответ: 74

3) $(x_1 + x_2)^2$
Раскроем скобки по формуле квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.
Сгруппируем слагаемые: $(x_1^2 + x_2^2) + 2x_1x_2$.
Из предыдущего пункта мы уже знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 74$. Подставим это значение и известное значение $x_1x_2 = 5$:
$74 + 2 \cdot 5 = 74 + 10 = 84$
Также можно воспользоваться тождеством $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$.
$(x_1 + x_2)^2 = (x_1 - x_2)^2 + 4x_1x_2 = 8^2 + 4 \cdot 5 = 64 + 20 = 84$.
Ответ: 84

4) $x_1^3 - x_2^3$
Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)$
Перегруппируем слагаемые во второй скобке: $(x_1 - x_2)((x_1^2 + x_2^2) + x_1x_2)$.
Мы знаем, что $x_1 - x_2 = 8$. Из пункта 2 мы нашли, что $x_1^2 + x_2^2 = 74$. Из условия дано, что $x_1x_2 = 5$.
Подставим все известные значения в выражение:
$8 \cdot (74 + 5) = 8 \cdot 79 = 632$
Ответ: 632