Номер 864, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 864, страница 146.

Условие.

864. Решите уравнение:

1) $x^3 - 4x = 0;$

2) $x^4 - x^2 = 0;$

3) $x^5 - 36x^3 = 0;$

4) $9x^3 - x = 0;$

5) $x^3 - 10x^2 + 25x = 0;$

6) $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0;$

7) $x^3 - 5x^2 + 4x - 20 = 0;$

8) $x^5 - x^4 - x + 1 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $x^3 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x = 0$

2) $x^2 - 4 = 0$. Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$

$x = 2$ или $x = -2$

Корни уравнения: $0$, $-2$, $2$.

Ответ: $0; -2; 2$.

2) $x^4 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 1) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $x^2 - 1 = 0$. Разложим по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

$x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$

$x = 1$ или $x = -1$

Корни уравнения: $0$, $-1$, $1$.

Ответ: $0; -1; 1$.

3) $x^5 - 36x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(x^2 - 36) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $x^2 - 36 = 0$. Разложим по формуле разности квадратов:

$(x - 6)(x + 6) = 0$

$x - 6 = 0$ или $x + 6 = 0$

$x = 6$ или $x = -6$

Корни уравнения: $0$, $-6$, $6$.

Ответ: $0; -6; 6$.

4) $9x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(9x^2 - 1) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x = 0$

2) $9x^2 - 1 = 0$. Разложим по формуле разности квадратов:

$(3x - 1)(3x + 1) = 0$

$3x - 1 = 0$ или $3x + 1 = 0$

$3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$

$3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$

Корни уравнения: $0$, $-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}$.

Ответ: $0; -\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.

5) $x^3 - 10x^2 + 25x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 10x + 25) = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$x(x - 5)^2 = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x = 0$

2) $(x - 5)^2 = 0 \Rightarrow x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

Корни уравнения: $0$, $5$.

Ответ: $0; 5$.

6) $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + 2x^2) - (9x + 18) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 9) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

2) $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow x=3$ или $x=-3$

Корни уравнения: $-3$, $-2$, $3$.

Ответ: $-3; -2; 3$.

7) $x^3 - 5x^2 + 4x - 20 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 5x^2) + (4x - 20) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^2(x - 5) + 4(x - 5) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:

$(x - 5)(x^2 + 4) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

2) $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Единственный действительный корень уравнения: $5$.

Ответ: $5$.

8) $x^5 - x^4 - x + 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^5 - x^4) - (x - 1) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^4(x - 1) - 1(x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^4 - 1) = 0$

Множитель $(x^4 - 1)$ можно разложить как разность квадратов:

$(x - 1)(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$

Множитель $(x^2 - 1)$ также является разностью квадратов:

$(x - 1)(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0$

$(x - 1)^2(x + 1)(x^2 + 1) = 0$

Получаем три уравнения:

1) $(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

2) $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

3) $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Корни уравнения: $-1$, $1$.

Ответ: $-1; 1$.