Номер 860, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 860, страница 145.

Условие.

860. Разложите на множители:

1) $a^2 - b^2 - a - b$;

2) $x - y - x^2 + y^2$;

3) $4m^2 - 9n^2 + 2m + 3n$;

4) $c^2 - d^2 + 4c - 4d$;

5) $5x^2y - 5xy^2 - x^2 + y^2$;

6) $a^2 - 10a + 25 - ab + 5b$;

7) $8mp + 8np - m^2 - 2mn - n^2$;

8) $a^3 + b^3 - a^2b - ab^2$;

9) $m^3 - 8n^3 - m^2 + 4mn - 4n^2$;

10) $a^3 - 4a^2 + 4a - 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Сгруппируем слагаемые: $(a^2 - b^2) - (a + b)$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к первой группе:

$(a-b)(a+b) - (a+b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a+b)((a-b)-1)$

Упростим выражение, раскрыв внутренние скобки:

$(a+b)(a-b-1)$

Ответ: $(a+b)(a-b-1)$

2) Сгруппируем слагаемые: $(x - y) + (y^2 - x^2)$.

Перепишем вторую группу, вынеся знак минус: $(x - y) - (x^2 - y^2)$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ ко второй группе:

$(x-y) - (x-y)(x+y)$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)(1 - (x+y))$

Раскроем внутренние скобки:

$(x-y)(1 - x - y)$

Ответ: $(x-y)(1 - x - y)$

3) Сгруппируем слагаемые: $(4m^2 - 9n^2) + (2m + 3n)$.

Первая группа является разностью квадратов: $(2m)^2 - (3n)^2 = (2m-3n)(2m+3n)$.

Подставим разложенное выражение обратно:

$(2m-3n)(2m+3n) + (2m+3n)$

Вынесем общий множитель $(2m+3n)$ за скобки:

$(2m+3n)((2m-3n) + 1)$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(2m+3n)(2m-3n+1)$

Ответ: $(2m+3n)(2m-3n+1)$

4) Сгруппируем слагаемые: $(c^2 - d^2) + (4c - 4d)$.

Разложим первую группу по формуле разности квадратов: $c^2 - d^2 = (c-d)(c+d)$.

Во второй группе вынесем общий множитель 4 за скобки: $4c - 4d = 4(c-d)$.

Выражение примет вид:

$(c-d)(c+d) + 4(c-d)$

Вынесем общий множитель $(c-d)$ за скобки:

$(c-d)(c+d+4)$

Ответ: $(c-d)(c+d+4)$

5) Сгруппируем слагаемые: $(5x^2y - 5xy^2) + (-x^2 + y^2)$.

В первой группе вынесем общий множитель $5xy$: $5xy(x-y)$.

Во второй группе вынесем -1 и применим формулу разности квадратов: $-(x^2 - y^2) = -(x-y)(x+y)$.

Выражение примет вид:

$5xy(x-y) - (x-y)(x+y)$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)(5xy - (x+y))$

Раскроем внутренние скобки:

$(x-y)(5xy - x - y)$

Ответ: $(x-y)(5xy - x - y)$

6) Сгруппируем первые три слагаемых и последние два: $(a^2 - 10a + 25) + (-ab + 5b)$.

Первая группа представляет собой полный квадрат: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a-5)^2$.

Во второй группе вынесем общий множитель $-b$: $-b(a-5)$.

Выражение примет вид:

$(a-5)^2 - b(a-5)$

Вынесем общий множитель $(a-5)$ за скобки:

$(a-5)((a-5) - b)$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(a-5)(a-b-5)$

Ответ: $(a-5)(a-b-5)$

7) Сгруппируем слагаемые: $(8mp + 8np) - (m^2 + 2mn + n^2)$.

В первой группе вынесем общий множитель $8p$: $8p(m+n)$.

Вторая группа представляет собой полный квадрат суммы: $(m+n)^2$.

Выражение примет вид:

$8p(m+n) - (m+n)^2$

Вынесем общий множитель $(m+n)$ за скобки:

$(m+n)(8p - (m+n))$

Раскроем внутренние скобки:

$(m+n)(8p - m - n)$

Ответ: $(m+n)(8p - m - n)$

8) Сгруппируем слагаемые: $(a^3 + b^3) - (a^2b + ab^2)$.

Применим к первой группе формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Во второй группе вынесем общий множитель $ab$: $ab(a+b)$.

Выражение примет вид:

$(a+b)(a^2-ab+b^2) - ab(a+b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a+b)((a^2-ab+b^2) - ab)$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(a+b)(a^2-2ab+b^2)$

Выражение во вторых скобках является полным квадратом разности $(a-b)^2$.

$(a+b)(a-b)^2$

Ответ: $(a+b)(a-b)^2$

9) Сгруппируем слагаемые: $(m^3 - 8n^3) - (m^2 - 4mn + 4n^2)$.

Первая группа является разностью кубов: $m^3 - (2n)^3 = (m-2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$.

Вторая группа представляет собой полный квадрат разности: $m^2 - 2 \cdot m \cdot (2n) + (2n)^2 = (m-2n)^2$.

Выражение примет вид:

$(m-2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) - (m-2n)^2$

Вынесем общий множитель $(m-2n)$ за скобки:

$(m-2n)((m^2 + 2mn + 4n^2) - (m-2n))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(m-2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 - m + 2n)$

Ответ: $(m-2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 - m + 2n)$

10) Сгруппируем слагаемые: $(a^3 - 1) - (4a^2 - 4a)$.

Применим к первой группе формулу разности кубов: $a^3 - 1^3 = (a-1)(a^2+a+1)$.

Во второй группе вынесем общий множитель $4a$: $4a(a-1)$.

Выражение примет вид:

$(a-1)(a^2+a+1) - 4a(a-1)$

Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:

$(a-1)((a^2+a+1) - 4a)$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(a-1)(a^2 - 3a + 1)$

Ответ: $(a-1)(a^2 - 3a + 1)$