Номер 856, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 856, страница 145.

Условие.

856. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $3ab + 15b - 3a - 15$;

2) $84 - 42y - 7xy + 14x$;

3) $abc + 6ac + 8ab + 48a$;

4) $m^3 - m^2n + m^2 - mn$;

5) $a^3 + a^2 - a - 1$;

6) $2x^3 - 2xy^2 - 8x^2 + 8y^2$;

7) $5a^2 - 5b^2 - 15a^3b + 15ab^3$;

8) $a^2b^2 - 1 - b^2 + a^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для разложения многочлена $3ab + 15b - 3a - 15$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое: $(3ab - 3a) + (15b - 15)$.
Из первой группы вынесем общий множитель $3a$, а из второй — $15$: $3a(b - 1) + 15(b - 1)$.
Теперь мы видим общий множитель $(b - 1)$, который также можно вынести за скобки: $(b - 1)(3a + 15)$.
В скобке $(3a + 15)$ есть общий множитель $3$, вынесем его: $3(a + 5)$.
Окончательное выражение: $3(b - 1)(a + 5)$.
Ответ: $3(a + 5)(b - 1)$.

2) Разложим на множители многочлен $84 - 42y - 7xy + 14x$. Сгруппируем слагаемые: $(84 - 42y) + (14x - 7xy)$.
Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы выносим $42$, из второй — $7x$: $42(2 - y) + 7x(2 - y)$.
Вынесем общий множитель $(2 - y)$ за скобки: $(2 - y)(42 + 7x)$.
Из выражения $(42 + 7x)$ вынесем общий множитель $7$: $7(6 + x)$.
Получаем произведение: $7(2 - y)(6 + x)$.
Ответ: $7(x + 6)(2 - y)$.

3) Разложим на множители $abc + 6ac + 8ab + 48a$. Заметим, что у всех членов многочлена есть общий множитель $a$. Вынесем его за скобки: $a(bc + 6c + 8b + 48)$.
Теперь разложим на множители выражение в скобках методом группировки: $(bc + 6c) + (8b + 48)$.
Вынесем общие множители: $c(b + 6) + 8(b + 6)$.
Вынесем общую скобку $(b + 6)$: $(b + 6)(c + 8)$.
Вернем множитель $a$ и получим окончательный вид: $a(b + 6)(c + 8)$.
Ответ: $a(b + 6)(c + 8)$.

4) Представим в виде произведения $m³ - m²n + m² - mn$. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(m³ - m²n) + (m² - mn)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $m²(m - n) + m(m - n)$.
Вынесем общий множитель $(m - n)$ за скобки: $(m - n)(m² + m)$.
В выражении $(m² + m)$ вынесем за скобки $m$: $m(m + 1)$.
Окончательный результат: $m(m + 1)(m - n)$.
Ответ: $m(m + 1)(m - n)$.

5) Разложим на множители $a³ + a² - a - 1$. Сгруппируем слагаемые: $(a³ + a²) - (a + 1)$.
Вынесем $a²$ из первой группы: $a²(a + 1) - 1(a + 1)$.
Вынесем общий множитель $(a + 1)$: $(a + 1)(a² - 1)$.
Выражение $(a² - 1)$ является разностью квадратов и раскладывается как $(a - 1)(a + 1)$.
Таким образом, получаем: $(a + 1)(a - 1)(a + 1) = (a - 1)(a + 1)²$.
Ответ: $(a - 1)(a + 1)²$.

6) Представим в виде произведения $2x³ - 2xy² - 8x² + 8y²$. Сначала вынесем общий множитель $2$: $2(x³ - xy² - 4x² + 4y²)$.
Сгруппируем слагаемые в скобках: $(x³ - xy²) - (4x² - 4y²)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x(x² - y²) - 4(x² - y²)$.
Вынесем общий множитель $(x² - y²)$: $(x² - y²)(x - 4)$.
Разложим разность квадратов $(x² - y²)$ на $(x - y)(x + y)$.
Учитывая вынесенный вначале множитель $2$, получаем: $2(x - 4)(x - y)(x + y)$.
Ответ: $2(x - 4)(x - y)(x + y)$.

7) Разложим на множители $5a² - 5b² - 15a³b + 15ab³$. Сгруппируем слагаемые: $(5a² - 5b²) - (15a³b - 15ab³)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $5(a² - b²) - 15ab(a² - b²)$.
Вынесем общий множитель $(a² - b²)$: $(a² - b²)(5 - 15ab)$.
Из второй скобки $(5 - 15ab)$ вынесем общий множитель $5$: $5(1 - 3ab)$.
Разложим $(a² - b²)$ как разность квадратов: $(a - b)(a + b)$.
Окончательный вид произведения: $5(a - b)(a + b)(1 - 3ab)$.
Ответ: $5(a - b)(a + b)(1 - 3ab)$.

8) Представим в виде произведения $a²b² - 1 - b² + a²$. Для удобства переставим слагаемые: $a²b² - b² + a² - 1$.
Сгруппируем их: $(a²b² - b²) + (a² - 1)$.
Вынесем общие множители: $b²(a² - 1) + 1(a² - 1)$.
Вынесем общий множитель $(a² - 1)$: $(a² - 1)(b² + 1)$.
Выражение $(a² - 1)$ — это разность квадратов, которую можно разложить на $(a - 1)(a + 1)$.
В итоге получаем: $(a - 1)(a + 1)(b² + 1)$.
Ответ: $(a - 1)(a + 1)(b² + 1)$.