Номер 853, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 853, страница 144.

Условие.

853. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $3x^3 + 3y^3;$

2) $5m^4 - 320mn^3;$

3) $6c^5 - 6c^8.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить многочлен $3x^3 + 3y^3$ в виде произведения, сначала вынесем общий множитель 3 за скобки: $3x^3 + 3y^3 = 3(x^3 + y^3)$. Выражение в скобках $x^3 + y^3$ является суммой кубов. Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном случае $a = x$ и $b = y$, поэтому разложение будет таким: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Подставив это разложение в наше выражение, получаем окончательный результат: $3(x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Ответ: $3(x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

2) В многочлене $5m^4 - 320mn^3$ первым шагом вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем для $5m^4$ и $320mn^3$ является $5m$: $5m^4 - 320mn^3 = 5m(m^3 - 64n^3)$. Теперь рассмотрим выражение в скобках $m^3 - 64n^3$. Это разность кубов, так как $64n^3$ можно представить как $(4n)^3$. Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Здесь $a = m$ и $b = 4n$. Подставляем в формулу: $m^3 - (4n)^3 = (m - 4n)(m^2 + m \cdot 4n + (4n)^2) = (m - 4n)(m^2 + 4mn + 16n^2)$. Таким образом, полное разложение исходного многочлена на множители выглядит так: $5m(m - 4n)(m^2 + 4mn + 16n^2)$.
Ответ: $5m(m - 4n)(m^2 + 4mn + 16n^2)$.

3) Для разложения многочлена $6c^5 - 6c^8$ на множители вынесем за скобки общий множитель $6c^5$ (где $c^5$ — это переменная в наименьшей степени): $6c^5 - 6c^8 = 6c^5(1 - c^3)$. Выражение в скобках $1 - c^3$ является разностью кубов, так как 1 можно представить как $1^3$. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 1$ и $b = c$: $1^3 - c^3 = (1 - c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2) = (1 - c)(1 + c + c^2)$. Объединив все части, получаем итоговое произведение: $6c^5(1 - c)(1 + c + c^2)$.
Ответ: $6c^5(1 - c)(1 + c + c^2)$.