Номер 850, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 850, страница 144.

Условие.

850. Разложите на множители:

1) $x^4 - 16$;

2) $y^8 - 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)
Для разложения на множители выражения $x^4 - 16$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Сначала представим исходное выражение как разность квадратов:
$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2$
Применив формулу, где $a = x^2$ и $b = 4$, получим:
$(x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$
Теперь заметим, что первый множитель, $(x^2 - 4)$, также является разностью квадратов: $x^2 - 2^2$. Снова применим формулу, где $a = x$ и $b = 2$:
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
Второй множитель, $(x^2 + 4)$, является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:
$x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$
Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

2)
Для разложения выражения $y^8 - 1$ будем последовательно применять формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Шаг 1. Представим $y^8 - 1$ как разность квадратов $(y^4)^2 - 1^2$ и применим формулу:
$y^8 - 1 = (y^4 - 1)(y^4 + 1)$
Шаг 2. Множитель $(y^4 - 1)$ также является разностью квадратов: $(y^2)^2 - 1^2$. Разложим его:
$y^4 - 1 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)$
Шаг 3. В свою очередь, множитель $(y^2 - 1)$ — это разность квадратов $y^2 - 1^2$:
$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$
Множители $(y^2 + 1)$ и $(y^4 + 1)$ являются суммами квадратов и не раскладываются на множители с целыми коэффициентами.
Собирая все множители вместе, получаем итоговое разложение:
$y^8 - 1 = (y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$
Ответ: $(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$.