Номер 855, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 855, страница 144.

Условие.

855. Разложите на множители:

1) $c^6 + c^9$;

2) $m^9 - n^9$;

3) $a^8 - b^4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $c^6 + c^9$

Для разложения на множители выражения $c^6 + c^9$ сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель. Оба члена содержат переменную $c$. Наименьшая степень переменной $c$ в выражении равна 6, поэтому общим множителем является $c^6$.

Выносим $c^6$ за скобки:

$c^6 + c^9 = c^6 \cdot 1 + c^6 \cdot c^3 = c^6(1 + c^3)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $1 + c^3$. Это выражение является суммой кубов, так как $1 = 1^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a = 1$ и $b = c$. Подставляем эти значения в формулу:

$1^3 + c^3 = (1+c)(1^2 - 1 \cdot c + c^2) = (1+c)(1 - c + c^2)$

Теперь подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:

$c^6(1 + c^3) = c^6(1+c)(1 - c + c^2)$

Таким образом, мы полностью разложили выражение на множители.

Ответ: $c^6(1+c)(1 - c + c^2)$

2) $m^9 - n^9$

Выражение $m^9 - n^9$ представляет собой разность степеней. Мы можем представить его как разность кубов, так как показатели степени 9 делятся на 3.

Представим $m^9$ как $(m^3)^3$ и $n^9$ как $(n^3)^3$:

$m^9 - n^9 = (m^3)^3 - (n^3)^3$

Теперь применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = m^3$ и $b = n^3$. Подставляем в формулу:

$(m^3 - n^3)((m^3)^2 + m^3n^3 + (n^3)^2) = (m^3 - n^3)(m^6 + m^3n^3 + n^6)$

Теперь рассмотрим первый множитель $m^3 - n^3$. Это также разность кубов. Применим ту же формулу еще раз, где $a = m$ и $b = n$:

$m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)$

Второй множитель $m^6 + m^3n^3 + n^6$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Собираем все вместе:

$m^9 - n^9 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)(m^6 + m^3n^3 + n^6)$

Ответ: $(m-n)(m^2 + mn + n^2)(m^6 + m^3n^3 + n^6)$

3) $a^8 - b^4$

Выражение $a^8 - b^4$ является разностью квадратов. Мы можем представить его в следующем виде:

$a^8 - b^4 = (a^4)^2 - (b^2)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В данном случае $x = a^4$ и $y = b^2$. Подставляем в формулу:

$(a^4 - b^2)(a^4 + b^2)$

Теперь проверим, можно ли разложить полученные множители дальше.

Первый множитель $a^4 - b^2$ также является разностью квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$:

$a^4 - b^2 = (a^2)^2 - b^2$

Применяем формулу разности квадратов еще раз, где $x = a^2$ и $y = b$:

$(a^2 - b)(a^2 + b)$

Второй множитель $a^4 + b^2$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Объединяем все полученные множители:

$a^8 - b^4 = (a^2 - b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)$

Ответ: $(a^2 - b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)$