Номер 861, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 861, страница 145.

Условие.

861. Разложите на множители:

1) $m^2 - n^2 - m + n;$

2) $c + d - c^2 + d^2;$

3) $16x^2 - 25y^2 - 4x - 5y;$

4) $12a^2b^3 + 3a^3b^2 + 16b^2 - a^2;$

5) $49c^2 - 14c + 1 - 21ac + 3a;$

6) $ax^2 + ay^2 + x^4 + 2x^2y^2 + y^4;$

7) $27c^3 - d^3 + 9c^2 + 3cd + d^2;$

8) $b^3 - 2b^2 - 2b + 1.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $m^2 - n^2 - m + n$

Сгруппируем слагаемые. Первые два слагаемых представляют собой разность квадратов, а из последних двух вынесем $-1$ за скобки.

$(m^2 - n^2) - (m - n)$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в первой скобке:

$(m - n)(m + n) - (m - n)$

Теперь мы видим общий множитель $(m - n)$, который можно вынести за скобки:

$(m - n)((m + n) - 1) = (m - n)(m + n - 1)$

Ответ: $(m - n)(m + n - 1)$

2) $c + d - c^2 + d^2$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(c + d) + (d^2 - c^2)$

Во второй скобке находится разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(c + d) + (d - c)(d + c)$

Теперь вынесем общий множитель $(c + d)$ за скобки:

$(c + d)(1 + (d - c)) = (c + d)(1 + d - c)$

Ответ: $(c + d)(1 + d - c)$

3) $16x^2 - 25y^2 - 4x - 5y$

Перегруппируем слагаемые, чтобы применить метод выделения полного квадрата. Сначала сгруппируем члены с $x$ и члены с $y$:

$(16x^2 - 4x) - (25y^2 + 5y)$

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат для $x$. Для этого добавим и вычтем подходящее слагаемое. Заметим, что $16x^2 - 4x$ можно дополнить до квадрата разности $(4x - a)^2$. Но проще работать с выражением в целом. Сгруппируем по-другому:

$16x^2 - 4x - 25y^2 - 5y = (4x)^2 - 4x - (5y)^2 - 5y$

Применим метод выделения полного квадрата, рассматривая это как выражение от $x$, а затем от $y$.

$(16x^2 - 4x) - (25y^2 + 5y)$

Дополним до полного квадрата выражение $(16x^2 - 4x)$. Для этого представим его в виде $(4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot \frac{1}{2}$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$:

$(16x^2 - 4x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - (25y^2 + 5y) = (4x - \frac{1}{2})^2 - (25y^2 + 5y + \frac{1}{4})$

Теперь заметим, что выражение во второй скобке также является полным квадратом:

$25y^2 + 5y + \frac{1}{4} = (5y)^2 + 2 \cdot (5y) \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (5y + \frac{1}{2})^2$

Подставим это обратно в выражение, которое теперь принимает вид разности квадратов:

$(4x - \frac{1}{2})^2 - (5y + \frac{1}{2})^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$((4x - \frac{1}{2}) - (5y + \frac{1}{2}))((4x - \frac{1}{2}) + (5y + \frac{1}{2}))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(4x - \frac{1}{2} - 5y - \frac{1}{2})(4x - \frac{1}{2} + 5y + \frac{1}{2}) = (4x - 5y - 1)(4x + 5y)$

Ответ: $(4x + 5y)(4x - 5y - 1)$

4) $12a^2b^3 + 3a^3b^2 + 16b^2 - a^2$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$(12a^2b^3 + 3a^3b^2) + (16b^2 - a^2)$

Из первой скобки вынесем общий множитель $3a^2b^2$. Вторую скобку разложим как разность квадратов:

$3a^2b^2(4b + a) + (4b - a)(4b + a)$

Теперь вынесем общий множитель $(4b + a)$ за скобки:

$(4b + a)(3a^2b^2 + (4b - a)) = (a + 4b)(3a^2b^2 - a + 4b)$

Ответ: $(a + 4b)(3a^2b^2 - a + 4b)$

5) $49c^2 - 14c + 1 - 21ac + 3a$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат, и последние два слагаемых.

$(49c^2 - 14c + 1) - (21ac - 3a)$

Первая скобка является квадратом разности: $(7c - 1)^2$. Из второй скобки вынесем общий множитель $3a$:

$(7c - 1)^2 - 3a(7c - 1)$

Вынесем общий множитель $(7c - 1)$ за скобки:

$(7c - 1)((7c - 1) - 3a) = (7c - 1)(7c - 3a - 1)$

Ответ: $(7c - 1)(7c - 3a - 1)$

6) $ax^2 + ay^2 + x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

Перегруппируем слагаемые. Заметим, что последние три слагаемых образуют полный квадрат.

$(ax^2 + ay^2) + (x^4 + 2x^2y^2 + y^4)$

Из первой скобки вынесем общий множитель $a$. Выражение во второй скобке является квадратом суммы $(x^2+y^2)^2$:

$a(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2)^2$

Вынесем общий множитель $(x^2 + y^2)$ за скобки:

$(x^2 + y^2)(a + (x^2 + y^2)) = (x^2 + y^2)(a + x^2 + y^2)$

Ответ: $(x^2 + y^2)(a + x^2 + y^2)$

7) $27c^3 - d^3 + 9c^2 + 3cd + d^2$

Сгруппируем слагаемые. Первые два слагаемых представляют собой разность кубов.

$(27c^3 - d^3) + (9c^2 + 3cd + d^2)$

Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ к первой скобке, где $A=3c$ и $B=d$:

$(3c - d)((3c)^2 + 3c \cdot d + d^2) + (9c^2 + 3cd + d^2)$

$(3c - d)(9c^2 + 3cd + d^2) + (9c^2 + 3cd + d^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(9c^2 + 3cd + d^2)$ за скобки:

$(9c^2 + 3cd + d^2)((3c - d) + 1) = (9c^2 + 3cd + d^2)(3c - d + 1)$

Ответ: $(9c^2 + 3cd + d^2)(3c - d + 1)$

8) $b^3 - 2b^2 - 2b + 1$

Сгруппируем слагаемые, объединив кубы и члены с $b$:

$(b^3 + 1) + (-2b^2 - 2b)$

Первая скобка - это сумма кубов, а из второй можно вынести общий множитель $-2b$:

$(b + 1)(b^2 - b + 1) - 2b(b + 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(b + 1)$ за скобки:

$(b + 1)((b^2 - b + 1) - 2b) = (b + 1)(b^2 - b + 1 - 2b)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(b + 1)(b^2 - 3b + 1)$

Ответ: $(b + 1)(b^2 - 3b + 1)$