Номер 868, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 868, страница 146.

Условие.

868. Разложите выражение на множители двумя способами:

а) примените формулу разности квадратов;

б) раскройте скобки и примените метод группировки:

1) $(ab+1)^2 - (a+b)^2$; 2) $(a+2b)^2 - (ab+2)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(ab + 1)^2 - (a + b)^2$

а) примените формулу разности квадратов

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В нашем случае $x = ab + 1$ и $y = a + b$.

$(ab + 1)^2 - (a + b)^2 = ((ab + 1) - (a + b))((ab + 1) + (a + b))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(ab + 1 - a - b)(ab + 1 + a + b)$

Разложим на множители каждое выражение в скобках методом группировки:

Первая скобка: $ab - a - b + 1 = a(b - 1) - (b - 1) = (a - 1)(b - 1)$.

Вторая скобка: $ab + a + b + 1 = a(b + 1) + (b + 1) = (a + 1)(b + 1)$.

Подставим полученные выражения обратно:

$(a - 1)(b - 1)(a + 1)(b + 1)$

Сгруппируем множители, чтобы снова применить формулу разности квадратов:

$((a - 1)(a + 1)) \cdot ((b - 1)(b + 1)) = (a^2 - 1)(b^2 - 1)$

Ответ: $(a^2 - 1)(b^2 - 1)$.

б) раскройте скобки и примените метод группировки

Раскроем каждый квадрат по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(ab + 1)^2 = (ab)^2 + 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2 = a^2b^2 + 2ab + 1$.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Вычтем из первого выражения второе:

$(a^2b^2 + 2ab + 1) - (a^2 + 2ab + b^2) = a^2b^2 + 2ab + 1 - a^2 - 2ab - b^2$.

Сократим подобные члены ($2ab$ и $-2ab$):

$a^2b^2 - a^2 - b^2 + 1$.

Применим метод группировки:

$(a^2b^2 - a^2) - (b^2 - 1) = a^2(b^2 - 1) - (b^2 - 1)$.

Вынесем общий множитель $(b^2 - 1)$ за скобки:

$(a^2 - 1)(b^2 - 1)$.

Ответ: $(a^2 - 1)(b^2 - 1)$.

---

2) $(a + 2b)^2 - (ab + 2)^2$

а) примените формулу разности квадратов

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В данном случае $x = a + 2b$ и $y = ab + 2$.

$(a + 2b)^2 - (ab + 2)^2 = ((a + 2b) - (ab + 2))((a + 2b) + (ab + 2))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(a + 2b - ab - 2)(a + 2b + ab + 2)$

Разложим на множители каждое выражение в скобках методом группировки:

Первая скобка: $a - ab + 2b - 2 = a(1 - b) - 2(1 - b) = (a - 2)(1 - b)$.

Вторая скобка: $a + ab + 2b + 2 = a(1 + b) + 2(b + 1) = (a + 2)(b + 1)$.

Подставим полученные выражения обратно:

$(a - 2)(1 - b)(a + 2)(b + 1)$

Сгруппируем множители:

$((a - 2)(a + 2)) \cdot ((1 - b)(1 + b)) = (a^2 - 4)(1 - b^2)$

Ответ: $(a^2 - 4)(1 - b^2)$.

б) раскройте скобки и примените метод группировки

Раскроем каждый квадрат по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$.

$(ab + 2)^2 = (ab)^2 + 2 \cdot ab \cdot 2 + 2^2 = a^2b^2 + 4ab + 4$.

Вычтем из первого выражения второе:

$(a^2 + 4ab + 4b^2) - (a^2b^2 + 4ab + 4) = a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2b^2 - 4ab - 4$.

Сократим подобные члены ($4ab$ и $-4ab$):

$a^2 + 4b^2 - a^2b^2 - 4$.

Применим метод группировки:

$(a^2 - a^2b^2) + (4b^2 - 4) = a^2(1 - b^2) + 4(b^2 - 1) = a^2(1 - b^2) - 4(1 - b^2)$.

Вынесем общий множитель $(1 - b^2)$ за скобки:

$(a^2 - 4)(1 - b^2)$.

Ответ: $(a^2 - 4)(1 - b^2)$.