Номер 869, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 869, страница 146.

Условие.

869. Представьте в виде куба двучлена выражение:

1) $a^3 + 3a^2 + 3a + 1;$

2) $b^3 - 6b^2 + 12b - 8.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить выражение $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$ в виде куба двучлена, необходимо вспомнить и применить формулу куба суммы двух чисел:
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Сравним данное нам выражение с этой формулой.
Первый член выражения — это $a^3$. Логично предположить, что $x = a$.
Последний член выражения — это $1$, что можно представить как $1^3$. Следовательно, можно предположить, что $y = 1$.
Теперь необходимо проверить, соответствуют ли средние члены выражения нашей формуле при найденных $x=a$ и $y=1$.
Второй член по формуле: $3x^2y = 3 \cdot a^2 \cdot 1 = 3a^2$. Этот член совпадает со вторым членом в исходном выражении.
Третий член по формуле: $3xy^2 = 3 \cdot a \cdot 1^2 = 3a$. Этот член совпадает с третьим членом в исходном выражении.
Так как все члены выражения соответствуют разложению куба суммы $(a+1)$, мы можем записать:
$a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a+1)^3$.
Ответ: $(a+1)^3$.

2) Чтобы представить выражение $b^3 - 6b^2 + 12b - 8$ в виде куба двучлена, необходимо вспомнить и применить формулу куба разности двух чисел:
$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Сравним данное нам выражение с этой формулой. Обратим внимание на чередование знаков: плюс, минус, плюс, минус.
Первый член выражения — это $b^3$. Логично предположить, что $x = b$.
Последний член выражения — это $-8$, что можно представить как $-(2^3)$. Следовательно, можно предположить, что $y = 2$.
Теперь необходимо проверить, соответствуют ли средние члены выражения нашей формуле при найденных $x=b$ и $y=2$.
Второй член по формуле: $-3x^2y = -3 \cdot b^2 \cdot 2 = -6b^2$. Этот член совпадает со вторым членом в исходном выражении.
Третий член по формуле: $3xy^2 = 3 \cdot b \cdot 2^2 = 3 \cdot b \cdot 4 = 12b$. Этот член совпадает с третьим членом в исходном выражении.
Так как все члены выражения соответствуют разложению куба разности $(b-2)$, мы можем записать:
$b^3 - 6b^2 + 12b - 8 = (b-2)^3$.
Ответ: $(b-2)^3$.