Номер 876, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 876, страница 147.

Условие.

876. Значения переменных $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства $x + y = 6, xy = -3$. Найдите значение выражения:

1) $x^3y^2 + x^2y^3$;

2) $(x - y)^2$;

3) $x^4 + y^4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $x^3y^2 + x^2y^3$
Для решения данного выражения вынесем за скобки общий множитель $x^2y^2$:
$x^3y^2 + x^2y^3 = x^2y^2(x + y)$
Выражение $x^2y^2$ можно представить в виде $(xy)^2$. Таким образом, получаем:
$(xy)^2(x + y)$
Теперь подставим в полученное выражение исходные данные из условия задачи: $x+y=6$ и $xy=-3$.
$(-3)^2 \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$
Ответ: 54

2) $(x-y)^2$
Для нахождения значения этого выражения воспользуемся формулой квадрата разности, а также известной нам формулой квадрата суммы.
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
Мы не знаем значение $x^2+y^2$, но можем его выразить из формулы квадрата суммы:
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \implies x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$
Подставим это выражение в нашу формулу для квадрата разности:
$(x-y)^2 = ((x+y)^2 - 2xy) - 2xy = (x+y)^2 - 4xy$
Теперь подставим известные значения $x+y=6$ и $xy=-3$:
$6^2 - 4 \cdot (-3) = 36 + 12 = 48$
Ответ: 48

3) $x^4+y^4$
Представим данное выражение в виде суммы квадратов:
$x^4+y^4 = (x^2)^2+(y^2)^2$
Воспользуемся формулой $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$, где $a=x^2$ и $b=y^2$:
$(x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - 2(xy)^2$
Из предыдущего пункта мы знаем, как найти $x^2+y^2$:
$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 6^2 - 2 \cdot (-3) = 36 + 6 = 42$
Теперь подставим все известные и вычисленные значения в итоговое выражение:
$(42)^2 - 2 \cdot (-3)^2 = 1764 - 2 \cdot 9 = 1764 - 18 = 1746$
Ответ: 1746