Номер 882, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 882, страница 147.

Условие.

882. Петя сначала поднялся на гору со скоростью $2.5 \text{ км/ч}$, а потом спустился по другой дороге со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Найдите общий путь, пройденный Петей, если дорога на гору на $3 \text{ км}$ короче дороги с горы, а время, потраченное на весь путь, составляет $4 \text{ ч}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные и обозначим известные величины:

• Пусть $s_1$ (км) — это путь на гору.
• Пусть $s_2$ (км) — это путь с горы.
• $v_1 = 2,5$ км/ч — скорость при подъеме.
• $v_2 = 4$ км/ч — скорость при спуске.
• $t_{общ} = 4$ ч — общее время в пути.

Согласно условию, дорога на гору на 3 км короче дороги с горы. Запишем это в виде уравнения:

$s_1 = s_2 - 3$

Общее время движения состоит из времени, потраченного на подъем ($t_1$), и времени, потраченного на спуск ($t_2$). Используя формулу времени $t = \frac{s}{v}$, получаем:

$t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{s_1}{2,5}$

$t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{s_2}{4}$

Сумма времени подъема и спуска равна общему времени в пути:

$t_1 + t_2 = 4$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{s_1}{2,5} + \frac{s_2}{4} = 4$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $s_1$ и $s_2$:

$ \begin{cases} s_1 = s_2 - 3 \\ \frac{s_1}{2,5} + \frac{s_2}{4} = 4 \end{cases} $

Подставим выражение для $s_1$ из первого уравнения во второе, чтобы получить уравнение с одной переменной $s_2$:

$\frac{s_2 - 3}{2,5} + \frac{s_2}{4} = 4$

Для решения этого уравнения избавимся от знаменателей, умножив обе части на их наименьшее общее кратное, которое равно 20 ($2,5 \cdot 8 = 20$ и $4 \cdot 5 = 20$).

$20 \cdot \left( \frac{s_2 - 3}{2,5} \right) + 20 \cdot \left( \frac{s_2}{4} \right) = 20 \cdot 4$

$8 \cdot (s_2 - 3) + 5 \cdot s_2 = 80$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$8s_2 - 24 + 5s_2 = 80$

$13s_2 = 80 + 24$

$13s_2 = 104$

$s_2 = \frac{104}{13} = 8$

Итак, длина дороги с горы ($s_2$) составляет 8 км.

Теперь найдем длину дороги на гору ($s_1$):

$s_1 = s_2 - 3 = 8 - 3 = 5$ км.

Общий путь, пройденный Петей, равен сумме длин дороги на гору и с горы:

$S_{общ} = s_1 + s_2 = 5 \text{ км} + 8 \text{ км} = 13 \text{ км}.$

Проверим правильность решения. Время подъема: $t_1 = \frac{5 \text{ км}}{2,5 \text{ км/ч}} = 2$ часа. Время спуска: $t_2 = \frac{8 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 2$ часа. Общее время: $2 + 2 = 4$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 13 км.