Номер 880, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 880, страница 147.

Условие.

880. Докажите, что при любом натуральном значении n, отличном от 1, значение выражения $n^4 + n^2 + 1$ является составным числом.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что выражение $n^4 + n^2 + 1$ является составным числом при любом натуральном $n > 1$, необходимо показать, что его можно разложить на два целочисленных множителя, каждый из которых больше 1.

Преобразуем данное выражение, выделив полный квадрат. Для этого добавим и вычтем $n^2$:

$n^4 + n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 + 1 - n^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат $(n^2 + 1)^2$. Тогда выражение принимает вид:

$(n^4 + 2n^2 + 1) - n^2 = (n^2 + 1)^2 - n^2$

Мы получили разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = n^2 + 1$ и $b = n$:

$(n^2 + 1)^2 - n^2 = (n^2 + 1 - n)(n^2 + 1 + n)$

Таким образом, мы разложили исходное выражение на два множителя: $(n^2 - n + 1)$ и $(n^2 + n + 1)$. Теперь необходимо доказать, что при $n > 1$ (то есть при натуральных $n \ge 2$) оба этих множителя являются целыми числами, большими 1.

Рассмотрим первый множитель: $n^2 - n + 1$. Поскольку $n$ — натуральное число, большее 1, то $n \ge 2$. При $n=2$ множитель равен $2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$. Так как $3 > 1$, и функция $f(n) = n^2 - n + 1 = n(n-1) + 1$ возрастает при $n \ge 1$, то для всех $n \ge 2$ значение этого множителя будет больше или равно 3. Следовательно, первый множитель всегда является целым числом больше 1.

Рассмотрим второй множитель: $n^2 + n + 1$. Поскольку $n \ge 2$, все слагаемые являются положительными целыми числами. При $n=2$ множитель равен $2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$. Так как $7 > 1$, и значение выражения очевидно возрастает для положительных $n$, то для всех $n \ge 2$ значение этого множителя будет больше или равно 7. Следовательно, второй множитель также всегда является целым числом больше 1.

Мы представили выражение $n^4 + n^2 + 1$ как произведение двух целых чисел, $(n^2 - n + 1)$ и $(n^2 + n + 1)$, каждое из которых при $n > 1$ строго больше 1. По определению, такое число является составным. Доказательство завершено.

Ответ: Выражение $n^4+n^2+1$ раскладывается на множители $(n^2-n+1)(n^2+n+1)$. При натуральном $n>1$ оба множителя являются целыми числами, большими 1, следовательно, значение выражения является составным числом.