Номер 878, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 878, страница 147.

Условие.

878. Разложите на множители:

1) $x^4 - 5x^2 + 4;$

2) $x^4 + x^2 + 1;$

3) $4x^4 - 12x^2 + 1;$

4) $x^5 + x + 1;$

5) $x^4 + 4;$

6) $x^8 + x^4 - 2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Это биквадратное выражение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда выражение примет вид:

$y^2 - 5y + 4$

Это квадратный трехчлен, который можно разложить на множители, найдя его корни или сгруппировав слагаемые. Разложим средний член $-5y$ на $-y - 4y$:

$y^2 - y - 4y + 4$

Сгруппируем слагаемые:

$(y^2 - y) - (4y - 4) = y(y - 1) - 4(y - 1)$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$:

$(y - 1)(y - 4)$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^2$:

$(x^2 - 1)(x^2 - 4)$

Оба множителя являются разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

2) Для разложения этого многочлена используем метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $x^2$, чтобы получить формулу квадрата суммы.

$x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x^2 + 1)^2$. Получаем:

$(x^2 + 1)^2 - x^2$

Теперь мы имеем разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = x^2 + 1$ и $b = x$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x)$

Раскроем внутренние скобки и упорядочим члены многочленов:

$(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Ответ: $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

3) Этот многочлен также можно разложить на множители методом выделения полного квадрата. Представим $4x^4$ как $(2x^2)^2$. Чтобы получить полный квадрат, нам нужен член, который вместе с $4x^4$ и $+1$ образует квадрат двучлена, а оставшееся выражение было бы квадратом. Попробуем создать квадрат суммы $(2x^2+1)^2=4x^4+4x^2+1$.

Представим исходное выражение в виде:

$4x^4 - 12x^2 + 1 = (4x^4 + 4x^2 + 1) - 4x^2 - 12x^2 = (4x^4 + 4x^2 + 1) - 16x^2$

Выражение в скобках является полным квадратом $(2x^2 + 1)^2$, а $16x^2$ является полным квадратом $(4x)^2$. Получаем:

$(2x^2 + 1)^2 - (4x)^2$

Это разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a = 2x^2 + 1$ и $b = 4x$. Применим формулу:

$((2x^2 + 1) - 4x)((2x^2 + 1) + 4x)$

Упорядочим члены в каждом множителе:

$(2x^2 - 4x + 1)(2x^2 + 4x + 1)$

Ответ: $(2x^2 - 4x + 1)(2x^2 + 4x + 1)$

4) Для разложения этого многочлена используем искусственный прием: добавим и вычтем $x^2$.

$x^5 + x + 1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^5 - x^2) + (x^2 + x + 1)$

В первой группе вынесем за скобки $x^2$:

$x^2(x^3 - 1) + (x^2 + x + 1)$

Применим к выражению $x^3 - 1$ формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Подставим это обратно в наше выражение:

$x^2(x - 1)(x^2 + x + 1) + 1 \cdot (x^2 + x + 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(x^2 + x + 1)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 + x + 1)[x^2(x - 1) + 1]$

Упростим выражение во вторых скобках:

$x^2(x - 1) + 1 = x^3 - x^2 + 1$

Таким образом, итоговое разложение:

$(x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$

Ответ: $(x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$

5) Для разложения этого выражения (известного как тождество Софи Жермен) используем метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $4x^2$.

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат:

$(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$

Мы получили разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a = x^2 + 2$ и $b = 2x$. Применим формулу:

$((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x)$

Упорядочим члены в каждом множителе:

$(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

Ответ: $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

6) Это выражение похоже на биквадратное. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^4$.

$y^2 + y - 2$

Разложим этот квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно $-2$, а сумма равна $1$. Это числа $2$ и $-1$.

$y^2 + y - 2 = (y + 2)(y - 1)$

Вернемся к переменной $x$, подставив $y = x^4$:

$(x^4 + 2)(x^4 - 1)$

Второй множитель, $x^4 - 1$, является разностью квадратов:

$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$

Множитель $x^2 - 1$ также является разностью квадратов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Таким образом, $x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Первый множитель, $x^4 + 2$, не раскладывается на множители с рациональными коэффициентами.

Собираем все множители вместе:

$(x^4 + 2)(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

Для удобства записи, расположим множители по возрастанию степени:

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$