Номер 879, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 879, страница 147.

Условие.

879. Представьте в виде произведения выражения:

1) $x^4 + 5x^2 + 9;$

2) $x^4 - 8x^2 + 4.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить выражение $x^4 + 5x^2 + 9$ в виде произведения, воспользуемся методом выделения полного квадрата.
Заметим, что $x^4 = (x^2)^2$ и $9 = 3^2$. Для получения полного квадрата $(x^2+3)^2$ нам необходимо удвоенное произведение $2 \cdot x^2 \cdot 3 = 6x^2$.
В нашем выражении средний член равен $5x^2$. Представим его как $6x^2 - x^2$:
$x^4 + 5x^2 + 9 = x^4 + 6x^2 - x^2 + 9$
Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат:
$(x^4 + 6x^2 + 9) - x^2$
Выражение в скобках является полным квадратом суммы:
$(x^2 + 3)^2 - x^2$
Теперь мы получили разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = x^2 + 3$ и $b = x$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((x^2 + 3) - x)((x^2 + 3) + x)$
Упорядочим слагаемые в каждом множителе по убыванию степеней $x$:
$(x^2 - x + 3)(x^2 + x + 3)$
Полученные квадратные трехчлены не имеют действительных корней (их дискриминанты отрицательны), поэтому дальнейшее разложение на множители с действительными коэффициентами невозможно.
Ответ: $(x^2 - x + 3)(x^2 + x + 3)$

2) Разложим на множители выражение $x^4 - 8x^2 + 4$.
Аналогично предыдущему пункту, применим метод выделения полного квадрата.
Первый член $x^4 = (x^2)^2$, последний член $4 = 2^2$. Полный квадрат может иметь вид $(x^2 - 2)^2 = x^4 - 4x^2 + 4$.
Чтобы получить $-4x^2$ из исходного $-8x^2$, представим $-8x^2$ как $-4x^2 - 4x^2$:
$x^4 - 8x^2 + 4 = x^4 - 4x^2 - 4x^2 + 4$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^4 - 4x^2 + 4) - 4x^2$
Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x^2 - 2)^2$. Заметим также, что $4x^2 = (2x)^2$:
$(x^2 - 2)^2 - (2x)^2$
Мы получили разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a = x^2 - 2$ и $b = 2x$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((x^2 - 2) - 2x)((x^2 - 2) + 2x)$
Упорядочим члены в многочленах:
$(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$
Ответ: $(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$