Номер 872, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 872, страница 146.

Условие.

872. Представьте в виде произведения выражение:

1) $(5x - y^2)(5x + y^2) - 2(15x - 7y^2) - 40;$

2) $(3m - 2n)(12m + 5n) + 3m(3n + 4) - 2(3n^2 - 20n + 12).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(5x - y^2)(5x + y^2) - 2(15x - 7y^2) - 40$
Сначала упростим выражение, раскрыв скобки. Первое произведение является разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(5x - y^2)(5x + y^2) = (5x)^2 - (y^2)^2 = 25x^2 - y^4$.
Раскроем вторую скобку:
$-2(15x - 7y^2) = -30x + 14y^2$.
Теперь всё выражение имеет вид:
$25x^2 - y^4 - 30x + 14y^2 - 40$.
Перегруппируем слагаемые, чтобы применить метод выделения полного квадрата:
$(25x^2 - 30x) + (-y^4 + 14y^2) - 40$.
Выделим полный квадрат для выражения с переменной $x$:
$25x^2 - 30x = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $3^2=9$.
$(25x^2 - 30x + 9) - 9 = (5x - 3)^2 - 9$.
Выделим полный квадрат для выражения с переменной $y$:
$-y^4 + 14y^2 = -(y^4 - 14y^2) = -((y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 7)$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $7^2=49$.
$-((y^4 - 14y^2 + 49) - 49) = -((y^2 - 7)^2 - 49) = -(y^2 - 7)^2 + 49$.
Подставим полученные выражения обратно в исходное:
$((5x - 3)^2 - 9) + (-(y^2 - 7)^2 + 49) - 40 = (5x - 3)^2 - (y^2 - 7)^2 - 9 + 49 - 40$.
$(5x - 3)^2 - (y^2 - 7)^2 + 0 = (5x - 3)^2 - (y^2 - 7)^2$.
Мы получили разность квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 5x - 3$ и $B = y^2 - 7$. Применим эту формулу:
$((5x - 3) - (y^2 - 7))((5x - 3) + (y^2 - 7)) = (5x - 3 - y^2 + 7)(5x - 3 + y^2 - 7)$.
Упростим выражения в скобках:
$(5x - y^2 + 4)(5x + y^2 - 10)$.
Ответ: $(5x - y^2 + 4)(5x + y^2 - 10)$.

2) $(3m - 2n)(12m + 5n) + 3m(3n + 4) - 2(3n^2 - 20n + 12)$
Для начала раскроем все скобки в выражении:
$(3m - 2n)(12m + 5n) = 36m^2 + 15mn - 24mn - 10n^2 = 36m^2 - 9mn - 10n^2$.
$3m(3n + 4) = 9mn + 12m$.
$-2(3n^2 - 20n + 12) = -6n^2 + 40n - 24$.
Теперь сложим все полученные части:
$(36m^2 - 9mn - 10n^2) + (9mn + 12m) + (-6n^2 + 40n - 24)$.
Приведем подобные слагаемые:
$36m^2 - 9mn - 10n^2 + 9mn + 12m - 6n^2 + 40n - 24 = 36m^2 + 12m - 16n^2 + 40n - 24$.
Сгруппируем слагаемые по переменным и выделим полные квадраты:
$(36m^2 + 12m) - (16n^2 - 40n) - 24$.
Для $m$: $36m^2 + 12m = (6m)^2 + 2 \cdot 6m \cdot 1$. Добавим и вычтем $1^2=1$:
$(36m^2 + 12m + 1) - 1 = (6m + 1)^2 - 1$.
Для $n$: $16n^2 - 40n = (4n)^2 - 2 \cdot 4n \cdot 5$. Добавим и вычтем $5^2=25$:
$(16n^2 - 40n + 25) - 25 = (4n - 5)^2 - 25$.
Подставим обратно в сгруппированное выражение:
$((6m + 1)^2 - 1) - ((4n - 5)^2 - 25) - 24 = (6m + 1)^2 - 1 - (4n - 5)^2 + 25 - 24$.
$(6m + 1)^2 - (4n - 5)^2 - 1 + 25 - 24 = (6m + 1)^2 - (4n - 5)^2$.
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 6m + 1$ и $B = 4n - 5$:
$((6m + 1) - (4n - 5))((6m + 1) + (4n - 5)) = (6m + 1 - 4n + 5)(6m + 1 + 4n - 5)$.
Упростим выражения в скобках:
$(6m - 4n + 6)(6m + 4n - 4)$.
Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой скобки вынесем 2, и из второй скобки вынесем 2:
$2(3m - 2n + 3) \cdot 2(3m + 2n - 2) = 4(3m - 2n + 3)(3m + 2n - 2)$.
Ответ: $4(3m - 2n + 3)(3m + 2n - 2)$.