Номер 867, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 867, страница 146.

Условие.

867. Докажите тождество:

1) $(a+2)^3 - 25(a+2) = (a+2)(a+7)(a-3);$

2) $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для доказательства тождества $(a+2)^3 - 25(a+2) = (a+2)(a+7)(a-3)$ преобразуем его левую часть.

Вынесем общий множитель $(a+2)$ за скобки:

$(a+2)^3 - 25(a+2) = (a+2)((a+2)^2 - 25)$

Выражение в скобках $((a+2)^2 - 25)$ является разностью квадратов, так как $25 = 5^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a+2$ и $y = 5$:

$(a+2)((a+2)^2 - 5^2) = (a+2)((a+2-5)(a+2+5))$

Упростим выражения во внутренних скобках:

$(a+2)((a-3)(a+7)) = (a+2)(a-3)(a+7)$

Переставив множители, получаем выражение, идентичное правой части исходного тождества:

$(a+2)(a+7)(a-3)$

Так как левая часть тождества равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)$ преобразуем его левую часть.

Сгруппируем слагаемые в левой части следующим образом:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (c^2 - 2cd + d^2)$

Первая группа слагаемых $(a^2 + 2ab + b^2)$ является полным квадратом суммы по формуле $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$, то есть $(a+b)^2$. Вторая группа слагаемых, взятая со знаком минус, $-(c^2 - 2cd + d^2)$, также является полным квадратом, но разности: $-(c-d)^2$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$(a+b)^2 - (c-d)^2$

Полученное выражение является разностью квадратов. Применим формулу $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$, где $X = a+b$ и $Y = c-d$:

$((a+b) - (c-d))((a+b) + (c-d))$

Раскроем внутренние скобки:

$(a+b-c+d)(a+b+c-d)$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества (множители $(a+b-c+d)$ и $(a+b+c-d)$ могут быть переставлены, что не меняет результат). Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.