Номер 862, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 862, страница 145.

Условие.

862. Разложите на множители:

1) $x^2(x - 2) - 18x(x - 2) + 81(x - 2);$

2) $4x(y^2 - 9) + 4x^2(y^2 - 9) - 9 + y^2;$

3) $b^2(a + 1) - a^2(b + 1);$

4) $(a - b)(b^2 - c^2) - (b - c)(a^2 - b^2).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $x^2(x-2) - 18x(x-2) + 81(x-2)$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)(x^2 - 18x + 81)$

Выражение в скобках $x^2 - 18x + 81$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=9$.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = (x-9)^2$

Таким образом, итоговое разложение на множители выглядит так:

$(x-2)(x-9)^2$

Ответ: $(x-2)(x-9)^2$

2) $4x(y^2-9) + 4x^2(y^2-9) - 9 + y^2$

Сгруппируем последние два слагаемых: $-9 + y^2 = y^2 - 9$.

$4x(y^2-9) + 4x^2(y^2-9) + (y^2-9)$

Вынесем общий множитель $(y^2-9)$ за скобки:

$(y^2-9)(4x + 4x^2 + 1)$

Теперь разложим на множители каждое из выражений в скобках.
Первая скобка $(y^2-9)$ — это разность квадратов $y^2 - 3^2$, которая раскладывается по формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y^2-9 = (y-3)(y+3)$

Вторая скобка $(4x^2 + 4x + 1)$ — это полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. В данном случае $a=2x$ и $b=1$.

$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x+1)^2$

Собираем все вместе:

$(y-3)(y+3)(2x+1)^2$

Ответ: $(y-3)(y+3)(2x+1)^2$

3) $b^2(a+1) - a^2(b+1)$

Раскроем скобки:

$b^2a + b^2 - a^2b - a^2$

Сгруппируем слагаемые: $(b^2a - a^2b) + (b^2 - a^2)$.

Из первой группы вынесем общий множитель $ab$. Вторую группу разложим как разность квадратов.

$ab(b-a) + (b-a)(b+a)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(b-a)$:

$(b-a)(ab + (b+a)) = (b-a)(ab+a+b)$

Ответ: $(b-a)(ab+a+b)$

4) $(a-b)(b^2-c^2) - (b-c)(a^2-b^2)$

Применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ к выражениям $(b^2-c^2)$ и $(a^2-b^2)$:

$b^2-c^2 = (b-c)(b+c)$

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$(a-b)(b-c)(b+c) - (b-c)(a-b)(a+b)$

Видим общие множители $(a-b)$ и $(b-c)$. Вынесем их за скобки:

$(a-b)(b-c) \cdot [(b+c) - (a+b)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$b+c-a-b = c-a$

В результате получаем:

$(a-b)(b-c)(c-a)$

Ответ: $(a-b)(b-c)(c-a)$