Номер 859, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 859, страница 145.

Условие.

859. Представьте в виде произведения выражения:

1) $(m^2 - 2m)^2 - 1;$

2) $16 - (m^2 + 4m)^2;$

3) $x^2 - 18xy + 81y^2 - z^2;$

4) $64x^2 + 48xy + 9y^2 - 144;$

5) $c^2 - a^2 + 22a - 121;$

6) $100 - 25y^2 - 60x^2y - 36x^4.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(m^2 - 2m)^2 - 1$

Данное выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = m^2 - 2m$ и $b = 1$.

$(m^2 - 2m)^2 - 1^2 = ((m^2 - 2m) - 1)((m^2 - 2m) + 1) = (m^2 - 2m - 1)(m^2 - 2m + 1)$.

Второй множитель $m^2 - 2m + 1$ является полным квадратом разности: $(m-1)^2$.

Таким образом, итоговое произведение: $(m^2 - 2m - 1)(m - 1)^2$.

Ответ: $(m - 1)^2(m^2 - 2m - 1)$.

2) $16 - (m^2 + 4m)^2$

Это выражение также является разностью квадратов, так как $16 = 4^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 4$ и $b = m^2 + 4m$.

$4^2 - (m^2 + 4m)^2 = (4 - (m^2 + 4m))(4 + (m^2 + 4m)) = (4 - m^2 - 4m)(4 + m^2 + 4m)$.

Второй множитель $m^2 + 4m + 4$ является полным квадратом суммы: $(m+2)^2$.

Итоговое произведение: $(4 - m^2 - 4m)(m + 2)^2$.

Ответ: $(4 - m^2 - 4m)(m + 2)^2$.

3) $x^2 - 18xy + 81y^2 - z^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Выражение $x^2 - 18xy + 81y^2$ является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 9y$.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot (9y) + (9y)^2 = (x - 9y)^2$.

Теперь исходное выражение принимает вид $(x - 9y)^2 - z^2$.

Это разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x - 9y$ и $b = z$.

$((x - 9y) - z)((x - 9y) + z) = (x - 9y - z)(x - 9y + z)$.

Ответ: $(x - 9y - z)(x - 9y + z)$.

4) $64x^2 + 48xy + 9y^2 - 144$

Сгруппируем первые три слагаемых. Выражение $64x^2 + 48xy + 9y^2$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 8x$ и $b = 3y$.

$(8x)^2 + 2 \cdot (8x) \cdot (3y) + (3y)^2 = (8x + 3y)^2$.

Теперь исходное выражение принимает вид $(8x + 3y)^2 - 144$.

Так как $144 = 12^2$, мы получили разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 8x + 3y$ и $b = 12$.

$((8x + 3y) - 12)((8x + 3y) + 12) = (8x + 3y - 12)(8x + 3y + 12)$.

Ответ: $(8x + 3y - 12)(8x + 3y + 12)$.

5) $c^2 - a^2 + 22a - 121$

Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки: $c^2 - (a^2 - 22a + 121)$.

Выражение в скобках $a^2 - 22a + 121$ является полным квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = a$ и $y = 11$.

$a^2 - 2 \cdot a \cdot 11 + 11^2 = (a - 11)^2$.

Теперь исходное выражение принимает вид $c^2 - (a - 11)^2$.

Это разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = c$ и $y = a - 11$.

$(c - (a - 11))(c + (a - 11)) = (c - a + 11)(c + a - 11)$.

Ответ: $(c - a + 11)(c + a - 11)$.

6) $100 - 25y^2 - 60x^2y - 36x^4$

Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки: $100 - (25y^2 + 60x^2y + 36x^4)$.

Выражение в скобках $25y^2 + 60x^2y + 36x^4$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для наглядности переставим слагаемые: $36x^4 + 60x^2y + 25y^2$.

Здесь $a = 6x^2$ и $b = 5y$. Проверим средний член: $2 \cdot (6x^2) \cdot (5y) = 60x^2y$. Это верно.

Таким образом, $36x^4 + 60x^2y + 25y^2 = (6x^2 + 5y)^2$.

Теперь исходное выражение принимает вид $100 - (6x^2 + 5y)^2$.

Так как $100 = 10^2$, мы получили разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 10$ и $b = 6x^2 + 5y$.

$(10 - (6x^2 + 5y))(10 + (6x^2 + 5y)) = (10 - 6x^2 - 5y)(10 + 6x^2 + 5y)$.

Ответ: $(10 - 6x^2 - 5y)(10 + 6x^2 + 5y)$.