Страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

856. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $3ab + 15b - 3a - 15$;

2) $84 - 42y - 7xy + 14x$;

3) $abc + 6ac + 8ab + 48a$;

4) $m^3 - m^2n + m^2 - mn$;

5) $a^3 + a^2 - a - 1$;

6) $2x^3 - 2xy^2 - 8x^2 + 8y^2$;

7) $5a^2 - 5b^2 - 15a^3b + 15ab^3$;

8) $a^2b^2 - 1 - b^2 + a^2$.

1) Для разложения многочлена $3ab + 15b - 3a - 15$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое: $(3ab - 3a) + (15b - 15)$.
Из первой группы вынесем общий множитель $3a$, а из второй — $15$: $3a(b - 1) + 15(b - 1)$.
Теперь мы видим общий множитель $(b - 1)$, который также можно вынести за скобки: $(b - 1)(3a + 15)$.
В скобке $(3a + 15)$ есть общий множитель $3$, вынесем его: $3(a + 5)$.
Окончательное выражение: $3(b - 1)(a + 5)$.
Ответ: $3(a + 5)(b - 1)$.

2) Разложим на множители многочлен $84 - 42y - 7xy + 14x$. Сгруппируем слагаемые: $(84 - 42y) + (14x - 7xy)$.
Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы выносим $42$, из второй — $7x$: $42(2 - y) + 7x(2 - y)$.
Вынесем общий множитель $(2 - y)$ за скобки: $(2 - y)(42 + 7x)$.
Из выражения $(42 + 7x)$ вынесем общий множитель $7$: $7(6 + x)$.
Получаем произведение: $7(2 - y)(6 + x)$.
Ответ: $7(x + 6)(2 - y)$.

3) Разложим на множители $abc + 6ac + 8ab + 48a$. Заметим, что у всех членов многочлена есть общий множитель $a$. Вынесем его за скобки: $a(bc + 6c + 8b + 48)$.
Теперь разложим на множители выражение в скобках методом группировки: $(bc + 6c) + (8b + 48)$.
Вынесем общие множители: $c(b + 6) + 8(b + 6)$.
Вынесем общую скобку $(b + 6)$: $(b + 6)(c + 8)$.
Вернем множитель $a$ и получим окончательный вид: $a(b + 6)(c + 8)$.
Ответ: $a(b + 6)(c + 8)$.

4) Представим в виде произведения $m³ - m²n + m² - mn$. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(m³ - m²n) + (m² - mn)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $m²(m - n) + m(m - n)$.
Вынесем общий множитель $(m - n)$ за скобки: $(m - n)(m² + m)$.
В выражении $(m² + m)$ вынесем за скобки $m$: $m(m + 1)$.
Окончательный результат: $m(m + 1)(m - n)$.
Ответ: $m(m + 1)(m - n)$.

5) Разложим на множители $a³ + a² - a - 1$. Сгруппируем слагаемые: $(a³ + a²) - (a + 1)$.
Вынесем $a²$ из первой группы: $a²(a + 1) - 1(a + 1)$.
Вынесем общий множитель $(a + 1)$: $(a + 1)(a² - 1)$.
Выражение $(a² - 1)$ является разностью квадратов и раскладывается как $(a - 1)(a + 1)$.
Таким образом, получаем: $(a + 1)(a - 1)(a + 1) = (a - 1)(a + 1)²$.
Ответ: $(a - 1)(a + 1)²$.

6) Представим в виде произведения $2x³ - 2xy² - 8x² + 8y²$. Сначала вынесем общий множитель $2$: $2(x³ - xy² - 4x² + 4y²)$.
Сгруппируем слагаемые в скобках: $(x³ - xy²) - (4x² - 4y²)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x(x² - y²) - 4(x² - y²)$.
Вынесем общий множитель $(x² - y²)$: $(x² - y²)(x - 4)$.
Разложим разность квадратов $(x² - y²)$ на $(x - y)(x + y)$.
Учитывая вынесенный вначале множитель $2$, получаем: $2(x - 4)(x - y)(x + y)$.
Ответ: $2(x - 4)(x - y)(x + y)$.

7) Разложим на множители $5a² - 5b² - 15a³b + 15ab³$. Сгруппируем слагаемые: $(5a² - 5b²) - (15a³b - 15ab³)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $5(a² - b²) - 15ab(a² - b²)$.
Вынесем общий множитель $(a² - b²)$: $(a² - b²)(5 - 15ab)$.
Из второй скобки $(5 - 15ab)$ вынесем общий множитель $5$: $5(1 - 3ab)$.
Разложим $(a² - b²)$ как разность квадратов: $(a - b)(a + b)$.
Окончательный вид произведения: $5(a - b)(a + b)(1 - 3ab)$.
Ответ: $5(a - b)(a + b)(1 - 3ab)$.

8) Представим в виде произведения $a²b² - 1 - b² + a²$. Для удобства переставим слагаемые: $a²b² - b² + a² - 1$.
Сгруппируем их: $(a²b² - b²) + (a² - 1)$.
Вынесем общие множители: $b²(a² - 1) + 1(a² - 1)$.
Вынесем общий множитель $(a² - 1)$: $(a² - 1)(b² + 1)$.
Выражение $(a² - 1)$ — это разность квадратов, которую можно разложить на $(a - 1)(a + 1)$.
В итоге получаем: $(a - 1)(a + 1)(b² + 1)$.
Ответ: $(a - 1)(a + 1)(b² + 1)$.

857. Разложите на множители:

1) $15cx + 2cy - cxy - 30c;$

2) $35a^2 - 42ab + 10a^2b - 12ab^2;$

3) $x^3 + x^2y + x^2 + xy;$

4) $mn^4 - n^4 + mn^3 - n^3.$

1) $15cx + 2cy - cxy - 30c$
Для разложения на множители будем использовать метод группировки. Сначала вынесем общий для всех членов множитель $c$ за скобки:
$15cx + 2cy - cxy - 30c = c(15x + 2y - xy - 30)$
Теперь сгруппируем слагаемые внутри скобок. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:
$c((15x - 30) + (2y - xy))$
Вынесем общие множители из каждой группы: из первой группы вынесем 15, а из второй $y$.
$c(15(x - 2) + y(2 - x))$
Чтобы получить одинаковый множитель в скобках, изменим знак перед вторым слагаемым и знаки в его скобках:
$c(15(x - 2) - y(x - 2))$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:
$c(x - 2)(15 - y)$
Ответ: $c(x - 2)(15 - y)$

2) $35a^2 - 42ab + 10a^2b - 12ab^2$
Сначала вынесем за скобки общий множитель $a$:
$a(35a - 42b + 10ab - 12b^2)$
Сгруппируем слагаемые в скобках. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:
$a((35a + 10ab) - (42b + 12b^2))$
Вынесем общие множители из каждой группы: из первой $5a$, из второй $6b$:
$a(5a(7 + 2b) - 6b(7 + 2b))$
Теперь вынесем общий множитель $(7 + 2b)$ за скобки:
$a(7 + 2b)(5a - 6b)$
Ответ: $a(5a - 6b)(7 + 2b)$

3) $x^3 + x^2y + x^2 + xy$
Сгруппируем попарно слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым.
$(x^3 + x^2y) + (x^2 + xy)$
Вынесем общие множители из каждой группы: из первой $x^2$, из второй $x$.
$x^2(x + y) + x(x + y)$
Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки:
$(x^2 + x)(x + y)$
В первом множителе $(x^2 + x)$ можно вынести за скобки общий множитель $x$:
$x(x + 1)(x + y)$
Ответ: $x(x + 1)(x + y)$

4) $mn^4 - n^4 + mn^3 - n^3$
Сгруппируем попарно слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым.
$(mn^4 - n^4) + (mn^3 - n^3)$
Вынесем общие множители из каждой группы: из первой $n^4$, из второй $n^3$.
$n^4(m - 1) + n^3(m - 1)$
Вынесем общий множитель $(m - 1)$ за скобки:
$(n^4 + n^3)(m - 1)$
В первом множителе $(n^4 + n^3)$ можно вынести за скобки общий множитель $n^3$:
$n^3(n + 1)(m - 1)$
Ответ: $n^3(m - 1)(n + 1)$

858. Разложите на множители:

1) $(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2;$

2) $81 - (x^2 + 6x)^2;$

3) $a^2 + 2ab + b^2 - c^2;$

4) $c^2 + 4c + 4 - k^2;$

5) $9a^2 + c^2 + 6ac - 9;$

6) $a^2 - b^2 - 10b - 25;$

7) $49 - y^2 + x^2 - 14x;$

8) $mn^2 - m^3 - 12m^2 - 36m.$

1) Дано выражение $(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2$.
Заметим, что второй член можно представить как квадрат: $4a^2b^2 = (2ab)^2$.
Тогда исходное выражение принимает вид разности квадратов: $(a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^2 + b^2$ и $y = 2ab$.
Получаем: $((a^2 + b^2) - 2ab)((a^2 + b^2) + 2ab)$.
Упростим выражения в каждой скобке. Первое выражение в скобках является полным квадратом разности, а второе — полным квадратом суммы.
$(a^2 - 2ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2) = (a - b)^2(a + b)^2$.
Ответ: $(a - b)^2(a + b)^2$.

2) Дано выражение $81 - (x^2 + 6x)^2$.
Представим $81$ как $9^2$. Выражение примет вид $9^2 - (x^2 + 6x)^2$.
Это разность квадратов. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 9$ и $b = x^2 + 6x$.
Получаем: $(9 - (x^2 + 6x))(9 + (x^2 + 6x))$.
Раскроем внутренние скобки: $(9 - x^2 - 6x)(9 + x^2 + 6x)$.
Вторые скобки $x^2 + 6x + 9$ являются полным квадратом суммы: $(x+3)^2$.
Перепишем выражение, упорядочив члены в первых скобках: $(9 - 6x - x^2)(x + 3)^2$.
Ответ: $(9 - 6x - x^2)(x + 3)^2$.

3) Дано выражение $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$.
Сгруппируем первые три члена: $(a^2 + 2ab + b^2) - c^2$.
Выражение в скобках является формулой квадрата суммы: $(a + b)^2$.
Теперь выражение имеет вид: $(a + b)^2 - c^2$.
Это разность квадратов. Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a + b$ и $y = c$.
Получаем: $((a + b) - c)((a + b) + c) = (a + b - c)(a + b + c)$.
Ответ: $(a + b - c)(a + b + c)$.

4) Дано выражение $c^2 + 4c + 4 - k^2$.
Сгруппируем первые три члена: $(c^2 + 4c + 4) - k^2$.
Выражение в скобках является формулой квадрата суммы: $(c + 2)^2$.
Теперь выражение имеет вид: $(c + 2)^2 - k^2$.
Это разность квадратов. Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = c + 2$ и $y = k$.
Получаем: $((c + 2) - k)((c + 2) + k) = (c - k + 2)(c + k + 2)$.
Ответ: $(c - k + 2)(c + k + 2)$.

5) Дано выражение $9a^2 + c^2 + 6ac - 9$.
Перегруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат: $(9a^2 + 6ac + c^2) - 9$.
Выражение в скобках является квадратом суммы: $(3a)^2 + 2(3a)(c) + c^2 = (3a + c)^2$.
Выражение принимает вид: $(3a + c)^2 - 9$.
Представим $9$ как $3^2$: $(3a + c)^2 - 3^2$.
Применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 3a + c$ и $y = 3$.
Получаем: $((3a + c) - 3)((3a + c) + 3) = (3a + c - 3)(3a + c + 3)$.
Ответ: $(3a + c - 3)(3a + c + 3)$.

6) Дано выражение $a^2 - b^2 - 10b - 25$.
Сгруппируем члены, содержащие $b$, и вынесем знак минус за скобки: $a^2 - (b^2 + 10b + 2

859. Представьте в виде произведения выражения:

1) $(m^2 - 2m)^2 - 1;$

2) $16 - (m^2 + 4m)^2;$

3) $x^2 - 18xy + 81y^2 - z^2;$

4) $64x^2 + 48xy + 9y^2 - 144;$

5) $c^2 - a^2 + 22a - 121;$

6) $100 - 25y^2 - 60x^2y - 36x^4.$

1) $(m^2 - 2m)^2 - 1$

Данное выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = m^2 - 2m$ и $b = 1$.

$(m^2 - 2m)^2 - 1^2 = ((m^2 - 2m) - 1)((m^2 - 2m) + 1) = (m^2 - 2m - 1)(m^2 - 2m + 1)$.

Второй множитель $m^2 - 2m + 1$ является полным квадратом разности: $(m-1)^2$.

Таким образом, итоговое произведение: $(m^2 - 2m - 1)(m - 1)^2$.

Ответ: $(m - 1)^2(m^2 - 2m - 1)$.

2) $16 - (m^2 + 4m)^2$

Это выражение также является разностью квадратов, так как $16 = 4^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 4$ и $b = m^2 + 4m$.

$4^2 - (m^2 + 4m)^2 = (4 - (m^2 + 4m))(4 + (m^2 + 4m)) = (4 - m^2 - 4m)(4 + m^2 + 4m)$.

Второй множитель $m^2 + 4m + 4$ является полным квадратом суммы: $(m+2)^2$.

Итоговое произведение: $(4 - m^2 - 4m)(m + 2)^2$.

Ответ: $(4 - m^2 - 4m)(m + 2)^2$.

3) $x^2 - 18xy + 81y^2 - z^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Выражение $x^2 - 18xy + 81y^2$ является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 9y$.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot (9y) + (9y)^2 = (x - 9y)^2$.

Теперь исходное выражение принимает вид $(x - 9y)^2 - z^2$.

Это разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x - 9y$ и $b = z$.

$((x - 9y) - z)((x - 9y) + z) = (x - 9y - z)(x - 9y + z)$.

Ответ: $(x - 9y - z)(x - 9y + z)$.

4) $64x^2 + 48xy + 9y^2 - 144$

Сгруппируем первые три слагаемых. Выражение $64x^2 + 48xy + 9y^2$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 8x$ и $b = 3y$.

$(8x)^2 + 2 \cdot (8x) \cdot (3y) + (3y)^2 = (8x + 3y)^2$.

Теперь исходное выражение принимает вид $(8x + 3y)^2 - 144$.

Так как $144 = 12^2$, мы получили разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 8x + 3y$ и $b = 12$.

$((8x + 3y) - 12)((8x + 3y) + 12) = (8x + 3y - 12)(8x + 3y + 12)$.

Ответ: $(8x + 3y - 12)(8x + 3y + 12)$.

5) $c^2 - a^2 + 22a - 121$

Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки: $c^2 - (a^2 - 22a + 121)$.

Выражение в скобках $a^2 - 22a + 121$ является полным квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = a$ и $y = 11$.

$a^2 - 2 \cdot a \cdot 11 + 11^2 = (a - 11)^2$.

Теперь исходное выражение принимает вид $c^2 - (a - 11)^2$.

Это разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = c$ и $y = a - 11$.

$(c - (a - 11))(c + (a - 11)) = (c - a + 11)(c + a - 11)$.

Ответ: $(c - a + 11)(c + a - 11)$.

6) $100 - 25y^2 - 60x^2y - 36x^4$

Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки: $100 - (25y^2 + 60x^2y + 36x^4)$.

Выражение в скобках $25y^2 + 60x^2y + 36x^4$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для наглядности переставим слагаемые: $36x^4 + 60x^2y + 25y^2$.

Здесь $a = 6x^2$ и $b = 5y$. Проверим средний член: $2 \cdot (6x^2) \cdot (5y) = 60x^2y$. Это верно.

Таким образом, $36x^4 + 60x^2y + 25y^2 = (6x^2 + 5y)^2$.

Теперь исходное выражение принимает вид $100 - (6x^2 + 5y)^2$.

Так как $100 = 10^2$, мы получили разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 10$ и $b = 6x^2 + 5y$.

$(10 - (6x^2 + 5y))(10 + (6x^2 + 5y)) = (10 - 6x^2 - 5y)(10 + 6x^2 + 5y)$.

Ответ: $(10 - 6x^2 - 5y)(10 + 6x^2 + 5y)$.

860. Разложите на множители:

1) $a^2 - b^2 - a - b$;

2) $x - y - x^2 + y^2$;

3) $4m^2 - 9n^2 + 2m + 3n$;

4) $c^2 - d^2 + 4c - 4d$;

5) $5x^2y - 5xy^2 - x^2 + y^2$;

6) $a^2 - 10a + 25 - ab + 5b$;

7) $8mp + 8np - m^2 - 2mn - n^2$;

8) $a^3 + b^3 - a^2b - ab^2$;

9) $m^3 - 8n^3 - m^2 + 4mn - 4n^2$;

10) $a^3 - 4a^2 + 4a - 1$.

1) Сгруппируем слагаемые: $(a^2 - b^2) - (a + b)$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к первой группе:

$(a-b)(a+b) - (a+b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a+b)((a-b)-1)$

Упростим выражение, раскрыв внутренние скобки:

$(a+b)(a-b-1)$

Ответ: $(a+b)(a-b-1)$

2) Сгруппируем слагаемые: $(x - y) + (y^2 - x^2)$.

Перепишем вторую группу, вынеся знак минус: $(x - y) - (x^2 - y^2)$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ ко второй группе:

$(x-y) - (x-y)(x+y)$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)(1 - (x+y))$

Раскроем внутренние скобки:

$(x-y)(1 - x - y)$

Ответ: $(x-y)(1 - x - y)$

3) Сгруппируем слагаемые: $(4m^2 - 9n^2) + (2m + 3n)$.

Первая группа является разностью квадратов: $(2m)^2 - (3n)^2 = (2m-3n)(2m+3n)$.

Подставим разложенное выражение обратно:

$(2m-3n)(2m+3n) + (2m+3n)$

Вынесем общий множитель $(2m+3n)$ за скобки:

$(2m+3n)((2m-3n) + 1)$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(2m+3n)(2m-3n+1)$

Ответ: $(2m+3n)(2m-3n+1)$

4) Сгруппируем слагаемые: $(c^2 - d^2) + (4c - 4d)$.

Разложим первую группу по формуле разности квадратов: $c^2 - d^2 = (c-d)(c+d)$.

Во второй группе вынесем общий множитель 4 за скобки: $4c - 4d = 4(c-d)$.

Выражение примет вид:

$(c-d)(c+d) + 4(c-d)$

Вынесем общий множитель $(c-d)$ за скобки:

$(c-d)(c+d+4)$

Ответ: $(c-d)(c+d+4)$

5) Сгруппируем слагаемые: $(5x^2y - 5xy^2) + (-x^2 + y^2)$.

В первой группе вынесем общий множитель $5xy$: $5xy(x-y)$.

Во второй группе вынесем -1 и применим формулу разности квадратов: $-(x^2 - y^2) = -(x-y)(x+y)$.

Выражение примет вид:

$5xy(x-y) - (x-y)(x+y)$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)(5xy - (x+y))$

Раскроем внутренние скобки:

$(x-y)(5xy - x - y)$

Ответ: $(x-y)(5xy - x - y)$

6) Сгруппируем первые три слагаемых и последние два: $(a^2 - 10a + 25) + (-ab + 5b)$.

Первая группа представляет собой полный квадрат: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a-5)^2$.

Во второй группе вынесем общий множитель $-b$: $-b(a-5)$.

Выражение примет вид:

$(a-5)^2 - b(a-5)$

Вынесем общий множитель $(a-5)$ за скобки:

$(a-5)((a-5) - b)$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(a-5)(a-b-5)$

Ответ: $(a-5)(a-b-5)$

7) Сгруппируем слагаемые: $(8mp + 8np) - (m^2 + 2mn + n^2)$.

В первой группе вынесем общий множитель $8p$: $8p(m+n)$.

Вторая группа представляет собой полный квадрат суммы: $(m+n)^2$.

Выражение примет вид:

$8p(m+n) - (m+n)^2$

Вынесем общий множитель $(m+n)$ за скобки:

$(m+n)(8p - (m+n))$

Раскроем внутренние скобки:

$(m+n)(8p - m - n)$

Ответ: $(m+n)(8p - m - n)$

8) Сгруппируем слагаемые: $(a^3 + b^3) - (a^2b + ab^2)$.

Применим к первой группе формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Во второй группе вынесем общий множитель $ab$: $ab(a+b)$.

Выражение примет вид:

$(a+b)(a^2-ab+b^2) - ab(a+b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a+b)((a^2-ab+b^2) - ab)$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(a+b)(a^2-2ab+b^2)$

Выражение во вторых скобках является полным квадратом разности $(a-b)^2$.

$(a+b)(a-b)^2$

Ответ: $(a+b)(a-b)^2$

9) Сгруппируем слагаемые: $(m^3 - 8n^3) - (m^2 - 4mn + 4n^2)$.

Первая группа является разностью кубов: $m^3 - (2n)^3 = (m-2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$.

Вторая группа представляет собой полный квадрат разности: $m^2 - 2 \cdot m \cdot (2n) + (2n)^2 = (m-2n)^2$.

Выражение примет вид:

$(m-2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) - (m-2n)^2$

Вынесем общий множитель $(m-2n)$ за скобки:

$(m-2n)((m^2 + 2mn + 4n^2) - (m-2n))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(m-2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 - m + 2n)$

Ответ: $(m-2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 - m + 2n)$

10) Сгруппируем слагаемые: $(a^3 - 1) - (4a^2 - 4a)$.

Применим к первой группе формулу разности кубов: $a^3 - 1^3 = (a-1)(a^2+a+1)$.

Во второй группе вынесем общий множитель $4a$: $4a(a-1)$.

Выражение примет вид:

$(a-1)(a^2+a+1) - 4a(a-1)$

Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:

$(a-1)((a^2+a+1) - 4a)$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(a-1)(a^2 - 3a + 1)$

Ответ: $(a-1)(a^2 - 3a + 1)$

861. Разложите на множители:

1) $m^2 - n^2 - m + n;$

2) $c + d - c^2 + d^2;$

3) $16x^2 - 25y^2 - 4x - 5y;$

4) $12a^2b^3 + 3a^3b^2 + 16b^2 - a^2;$

5) $49c^2 - 14c + 1 - 21ac + 3a;$

6) $ax^2 + ay^2 + x^4 + 2x^2y^2 + y^4;$

7) $27c^3 - d^3 + 9c^2 + 3cd + d^2;$

8) $b^3 - 2b^2 - 2b + 1.$

1) $m^2 - n^2 - m + n$

Сгруппируем слагаемые. Первые два слагаемых представляют собой разность квадратов, а из последних двух вынесем $-1$ за скобки.

$(m^2 - n^2) - (m - n)$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в первой скобке:

$(m - n)(m + n) - (m - n)$

Теперь мы видим общий множитель $(m - n)$, который можно вынести за скобки:

$(m - n)((m + n) - 1) = (m - n)(m + n - 1)$

Ответ: $(m - n)(m + n - 1)$

2) $c + d - c^2 + d^2$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(c + d) + (d^2 - c^2)$

Во второй скобке находится разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(c + d) + (d - c)(d + c)$

Теперь вынесем общий множитель $(c + d)$ за скобки:

$(c + d)(1 + (d - c)) = (c + d)(1 + d - c)$

Ответ: $(c + d)(1 + d - c)$

3) $16x^2 - 25y^2 - 4x - 5y$

Перегруппируем слагаемые, чтобы применить метод выделения полного квадрата. Сначала сгруппируем члены с $x$ и члены с $y$:

$(16x^2 - 4x) - (25y^2 + 5y)$

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат для $x$. Для этого добавим и вычтем подходящее слагаемое. Заметим, что $16x^2 - 4x$ можно дополнить до квадрата разности $(4x - a)^2$. Но проще работать с выражением в целом. Сгруппируем по-другому:

$16x^2 - 4x - 25y^2 - 5y = (4x)^2 - 4x - (5y)^2 - 5y$

Применим метод выделения полного квадрата, рассматривая это как выражение от $x$, а затем от $y$.

$(16x^2 - 4x) - (25y^2 + 5y)$

Дополним до полного квадрата выражение $(16x^2 - 4x)$. Для этого представим его в виде $(4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot \frac{1}{2}$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$:

$(16x^2 - 4x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - (25y^2 + 5y) = (4x - \frac{1}{2})^2 - (25y^2 + 5y + \frac{1}{4})$

Теперь заметим, что выражение во второй скобке также является полным квадратом:

$25y^2 + 5y + \frac{1}{4} = (5y)^2 + 2 \cdot (5y) \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (5y + \frac{1}{2})^2$

Подставим это обратно в выражение, которое теперь принимает вид разности квадратов:

$(4x - \frac{1}{2})^2 - (5y + \frac{1}{2})^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$((4x - \frac{1}{2}) - (5y + \frac{1}{2}))((4x - \frac{1}{2}) + (5y + \frac{1}{2}))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(4x - \frac{1}{2} - 5y - \frac{1}{2})(4x - \frac{1}{2} + 5y + \frac{1}{2}) = (4x - 5y - 1)(4x + 5y)$

Ответ: $(4x + 5y)(4x - 5y - 1)$

4) $12a^2b^3 + 3a^3b^2 + 16b^2 - a^2$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$(12a^2b^3 + 3a^3b^2) + (16b^2 - a^2)$

Из первой скобки вынесем общий множитель $3a^2b^2$. Вторую скобку разложим как разность квадратов:

$3a^2b^2(4b + a) + (4b - a)(4b + a)$

Теперь вынесем общий множитель $(4b + a)$ за скобки:

$(4b + a)(3a^2b^2 + (4b - a)) = (a + 4b)(3a^2b^2 - a + 4b)$

Ответ: $(a + 4b)(3a^2b^2 - a + 4b)$

5) $49c^2 - 14c + 1 - 21ac + 3a$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат, и последние два слагаемых.

$(49c^2 - 14c + 1) - (21ac - 3a)$

Первая скобка является квадратом разности: $(7c - 1)^2$. Из второй скобки вынесем общий множитель $3a$:

$(7c - 1)^2 - 3a(7c - 1)$

Вынесем общий множитель $(7c - 1)$ за скобки:

$(7c - 1)((7c - 1) - 3a) = (7c - 1)(7c - 3a - 1)$

Ответ: $(7c - 1)(7c - 3a - 1)$

6) $ax^2 + ay^2 + x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

Перегруппируем слагаемые. Заметим, что последние три слагаемых образуют полный квадрат.

$(ax^2 + ay^2) + (x^4 + 2x^2y^2 + y^4)$

Из первой скобки вынесем общий множитель $a$. Выражение во второй скобке является квадратом суммы $(x^2+y^2)^2$:

$a(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2)^2$

Вынесем общий множитель $(x^2 + y^2)$ за скобки:

$(x^2 + y^2)(a + (x^2 + y^2)) = (x^2 + y^2)(a + x^2 + y^2)$

Ответ: $(x^2 + y^2)(a + x^2 + y^2)$

7) $27c^3 - d^3 + 9c^2 + 3cd + d^2$

Сгруппируем слагаемые. Первые два слагаемых представляют собой разность кубов.

$(27c^3 - d^3) + (9c^2 + 3cd + d^2)$

Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ к первой скобке, где $A=3c$ и $B=d$:

$(3c - d)((3c)^2 + 3c \cdot d + d^2) + (9c^2 + 3cd + d^2)$

$(3c - d)(9c^2 + 3cd + d^2) + (9c^2 + 3cd + d^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(9c^2 + 3cd + d^2)$ за скобки:

$(9c^2 + 3cd + d^2)((3c - d) + 1) = (9c^2 + 3cd + d^2)(3c - d + 1)$

Ответ: $(9c^2 + 3cd + d^2)(3c - d + 1)$

8) $b^3 - 2b^2 - 2b + 1$

Сгруппируем слагаемые, объединив кубы и члены с $b$:

$(b^3 + 1) + (-2b^2 - 2b)$

Первая скобка - это сумма кубов, а из второй можно вынести общий множитель $-2b$:

$(b + 1)(b^2 - b + 1) - 2b(b + 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(b + 1)$ за скобки:

$(b + 1)((b^2 - b + 1) - 2b) = (b + 1)(b^2 - b + 1 - 2b)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(b + 1)(b^2 - 3b + 1)$

Ответ: $(b + 1)(b^2 - 3b + 1)$

862. Разложите на множители:

1) $x^2(x - 2) - 18x(x - 2) + 81(x - 2);$

2) $4x(y^2 - 9) + 4x^2(y^2 - 9) - 9 + y^2;$

3) $b^2(a + 1) - a^2(b + 1);$

4) $(a - b)(b^2 - c^2) - (b - c)(a^2 - b^2).$

1) $x^2(x-2) - 18x(x-2) + 81(x-2)$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)(x^2 - 18x + 81)$

Выражение в скобках $x^2 - 18x + 81$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=9$.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = (x-9)^2$

Таким образом, итоговое разложение на множители выглядит так:

$(x-2)(x-9)^2$

Ответ: $(x-2)(x-9)^2$

2) $4x(y^2-9) + 4x^2(y^2-9) - 9 + y^2$

Сгруппируем последние два слагаемых: $-9 + y^2 = y^2 - 9$.

$4x(y^2-9) + 4x^2(y^2-9) + (y^2-9)$

Вынесем общий множитель $(y^2-9)$ за скобки:

$(y^2-9)(4x + 4x^2 + 1)$

Теперь разложим на множители каждое из выражений в скобках.
Первая скобка $(y^2-9)$ — это разность квадратов $y^2 - 3^2$, которая раскладывается по формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y^2-9 = (y-3)(y+3)$

Вторая скобка $(4x^2 + 4x + 1)$ — это полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. В данном случае $a=2x$ и $b=1$.

$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x+1)^2$

Собираем все вместе:

$(y-3)(y+3)(2x+1)^2$

Ответ: $(y-3)(y+3)(2x+1)^2$

3) $b^2(a+1) - a^2(b+1)$

Раскроем скобки:

$b^2a + b^2 - a^2b - a^2$

Сгруппируем слагаемые: $(b^2a - a^2b) + (b^2 - a^2)$.

Из первой группы вынесем общий множитель $ab$. Вторую группу разложим как разность квадратов.

$ab(b-a) + (b-a)(b+a)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(b-a)$:

$(b-a)(ab + (b+a)) = (b-a)(ab+a+b)$

Ответ: $(b-a)(ab+a+b)$

4) $(a-b)(b^2-c^2) - (b-c)(a^2-b^2)$

Применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ к выражениям $(b^2-c^2)$ и $(a^2-b^2)$:

$b^2-c^2 = (b-c)(b+c)$

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$(a-b)(b-c)(b+c) - (b-c)(a-b)(a+b)$

Видим общие множители $(a-b)$ и $(b-c)$. Вынесем их за скобки:

$(a-b)(b-c) \cdot [(b+c) - (a+b)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$b+c-a-b = c-a$

В результате получаем:

$(a-b)(b-c)(c-a)$

Ответ: $(a-b)(b-c)(c-a)$

863. Представьте в виде произведения выражение:

1) $x^2(x+4) - 20x(x+4) + 100(x+4);$

2) $a^2 - 36 - 2a(36 - a^2) - a^2(36 - a^2);$

3) $a^2(b - 1) - b^2(a - 1);$

4) $(m - n)(n^3 - p^3) - (n - p)(m^3 - n^3).$

1) Данное выражение: $x^2(x + 4) - 20x(x + 4) + 100(x + 4)$.
Мы видим, что у всех трех слагаемых есть общий множитель $(x+4)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 4)(x^2 - 20x + 100)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 - 20x + 100$. Оно представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = x$, а $b = 10$, так как $x^2 = x^2$ и $100 = 10^2$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 10 = 20x$.
Таким образом, $x^2 - 20x + 100 = (x - 10)^2$.
Подставив это обратно, получаем итоговое произведение.
Ответ: $(x + 4)(x - 10)^2$

2) Данное выражение: $a^2 - 36 - 2a(36 - a^2) - a^2(36 - a^2)$.
Сначала сгруппируем первые два члена: $(a^2 - 36)$. Заметим, что $a^2 - 36 = -(36 - a^2)$. Перепишем выражение:
$-(36 - a^2) - 2a(36 - a^2) - a^2(36 - a^2)$.
Теперь мы видим общий множитель $(36 - a^2)$, который можно вынести за скобки:
$(36 - a^2)(-1 - 2a - a^2)$.
Вынесем знак минус из второй скобки:
$(36 - a^2)(-(1 + 2a + a^2))$.
Выражение в скобках $1 + 2a + a^2$ является полным квадратом суммы $(a+1)^2$.
Получаем: $-(36 - a^2)(a + 1)^2$.
Первый множитель $(36 - a^2)$ можно разложить по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $36 - a^2 = (6 - a)(6 + a)$.
Подставим это в наше выражение: $-(6 - a)(6 + a)(a + 1)^2$.
Чтобы избавиться от минуса перед выражением, умножим его на скобку $(6 - a)$, что изменит знаки в ней на противоположные: $(a - 6)$.
Ответ: $(a - 6)(a + 6)(a + 1)^2$

3) Данное выражение: $a^2(b - 1) - b^2(a - 1)$.
Раскроем скобки, чтобы перегруппировать члены:
$a^2b - a^2 - ab^2 + b^2$.
Сгруппируем члены следующим образом: $(a^2b - ab^2) + (b^2 - a^2)$.
Из первой группы вынесем общий множитель $ab$. Вторую группу разложим по формуле разности квадратов:
$ab(a - b) + (b - a)(b + a)$.
Заметим, что $(b - a) = -(a - b)$. Заменим это в выражении:
$ab(a - b) - (a - b)(a + b)$.
Теперь мы можем вынести общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)(ab - (a + b))$.
Раскроем внутренние скобки для окончательного вида.
Ответ: $(a - b)(ab - a - b)$

4) Данное выражение: $(m - n)(n^3 - p^3) - (n - p)(m^3 - n^3)$.
Воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ для выражений в скобках:
$n^3 - p^3 = (n - p)(n^2 + np + p^2)$
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$
Подставим эти разложения в исходное выражение:
$(m - n)(n - p)(n^2 + np + p^2) - (n - p)(m - n)(m^2 + mn + n^2)$.
Видим общий множитель $(m - n)(n - p)$, вынесем его за скобки:
$(m - n)(n - p) \left[ (n^2 + np + p^2) - (m^2 + mn + n^2) \right]$.
Упростим выражение в квадратных скобках:
$n^2 + np + p^2 - m^2 - mn - n^2 = np + p^2 - m^2 - mn$.
Перегруппируем члены внутри скобок для дальнейшего разложения:
$(p^2 - m^2) + (np - mn)$.
Первая группа — разность квадратов, из второй вынесем $n$:
$(p - m)(p + m) + n(p - m)$.
Теперь вынесем общий множитель $(p-m)$:
$(p - m)(p + m + n)$.
Соберем все вместе:
$(m - n)(n - p)(p - m)(m + n + p)$.
Ответ: $(m - n)(n - p)(p - m)(m + n + p)$