Страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

886. Найдите координаты точек A, B, C, D, E, F, изображённых на рисунке 8.

Рис. 8

а) $A(2)$, $B(3)$, $C(4)$, $D(-2)$, $E(-4)$, $F(0)$

б) $A(15)$, $B(5)$, $C(10)$, $D(0)$, $E(-15)$, $F(0)$

а)

На координатной прямой а мы видим, что расстояние между отметками 0 и 1 (единичный отрезок) разделено на 2 равные части. Это означает, что цена одного деления (расстояние между двумя соседними штрихами) составляет $1 \div 2 = 0.5$.

Исходя из этого, найдем координаты каждой точки:

• Координата точки A, которая находится на одно деление правее 1, равна $1 + 0.5 = 1.5$.
• Координата точки B, которая находится на 5 делений правее 0, равна $5 \times 0.5 = 2.5$.
• Координата точки C, которая находится на 7 делений правее 0, равна $7 \times 0.5 = 3.5$.
• Координата точки D, которая находится на 3 деления левее 0, равна $0 - 3 \times 0.5 = -1.5$.
• Координата точки E, которая находится на 5 делений левее 0, равна $0 - 5 \times 0.5 = -2.5$.
• Координата точки F, которая находится на 1 деление левее 0, равна $0 - 0.5 = -0.5$.

Ответ: A(1.5); B(2.5); C(3.5); D(-1.5); E(-2.5); F(-0.5).

б)

На координатной прямой б расстояние от 0 до первого штриха справа отмечено числом 20. Следовательно, цена одного деления на этой прямой равна 20.

Найдем координаты точек на этой прямой:

• Точка A расположена на третьем штрихе справа от 0, поэтому ее координата равна $3 \times 20 = 60$.
• Точка B расположена точно посередине между первым штрихом (координата 20) и вторым штрихом (координата $2 \times 20 = 40$). Ее координата равна $(20 + 40) \div 2 = 30$.
• Точка C расположена точно посередине между вторым штрихом (координата 40) и третьим штрихом (координата 60). Ее координата равна $(40 + 60) \div 2 = 50$.
• Точка E расположена на втором штрихе слева от 0, поэтому ее координата равна $-2 \times 20 = -40$.
• Точки D и F находятся на отрезке между первым штрихом слева (координата -20) и 0. Визуально они делят этот отрезок на три равные части. Длина каждой такой части равна $20 \div 3 = \frac{20}{3}$. Точка F расположена ближе к 0.
  • Координата точки F: $0 - \frac{20}{3} = -6\frac{2}{3}$.
  • Координата точки D: $0 - 2 \times \frac{20}{3} = -\frac{40}{3} = -13\frac{1}{3}$.

Ответ: A(60); B(30); C(50); D($-13\frac{1}{3}$); E(-40); F($-6\frac{2}{3}$).

887. Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа $0$; $1$; $-2$; $4$; $3,5$; $-3$; $-1,5$.

Для того чтобы начертить координатную прямую и отметить на ней заданные числа, необходимо выполнить следующие действия:

1. Построение координатной прямой

Координатная прямая — это прямая, на которой выбраны:

• начало отсчета (точка, соответствующая числу $0$);
• единичный отрезок (расстояние от $0$ до $1$), который задает масштаб;
• положительное направление (обычно указывается стрелкой вправо).

Мы начертим горизонтальную прямую, выберем на ней точку $0$, установим длину единичного отрезка и укажем направление стрелкой.

2. Размещение чисел на прямой

Теперь нужно отметить на прямой заданные числа: $0$; $1$; $-2$; $4$; $3,5$; $-3$; $-1,5$.

• Положительные числа ($1; 4; 3,5$) откладываются вправо от нуля.
  • Точка $1$ находится на расстоянии одного единичного отрезка от $0$.
  • Точка $4$ находится на расстоянии четырех единичных отрезков от $0$.
  • Точка $3,5$ находится на расстоянии трех с половиной единичных отрезков от $0$, то есть ровно посередине между точками $3$ и $4$.
• Отрицательные числа ($-2; -3; -1,5$) откладываются влево от нуля.
  • Точка $-2$ находится на расстоянии двух единичных отрезков от $0$ влево.
  • Точка $-3$ находится на расстоянии трех единичных отрезков от $0$ влево.
  • Точка $-1,5$ находится на расстоянии полутора единичных отрезков от $0$ влево, то есть ровно посередине между точками $-1$ и $-2$.
• Число 0 — это само начало отсчета.

В результате координатная прямая с отмеченными точками будет выглядеть следующим образом:

Ответ:

888. Начертите координатную прямую, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 4 раза больше стороны клетки тетради. Отметьте точки $M (0.5)$, $N (-1.5)$, $P \left(-\frac{3}{4}\right)$, $S \left(1\frac{1}{4}\right)$, $T \left(-2\frac{1}{4}\right)$.

Начертите координатную прямую, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 4 раза больше стороны клетки тетради.

Для выполнения этого задания сначала построим саму координатную прямую.

1. Чертим горизонтальную прямую линию.
2. Выбираем на ней точку отсчета O, которой соответствует координата 0.
3. Указываем стрелкой на правом конце прямой положительное направление.
4. Задаем единичный отрезок. Согласно условию, его длина равна 4 клеткам тетради. Это значит, что отметка "1" будет находиться на расстоянии 4 клеток вправо от нуля, отметка "2" — на 8 клеток вправо от нуля, а отметка "-1" — на 4 клетки влево от нуля, и так далее.

Таким образом, каждая клетка на нашей координатной оси соответствует шагу, равному $\frac{1}{4}$ или $0.25$.

Ответ: Построена координатная прямая с началом отсчета в точке O(0), положительным направлением вправо и единичным отрезком, равным 4 клеткам тетради.

Отметьте точки M(0,5), N(-1,5), P(-3/4), S(1 1/4), T(-2 1/4).

Для отметки точек на построенной координатной прямой определим их положение в клетках относительно начала отсчета O(0). Для удобства переведем все координаты в дроби со знаменателем 4, так как одна клетка соответствует $\frac{1}{4}$.

• Точка M(0,5): Координату $0,5$ можно записать как дробь $\frac{1}{2}$, что равно $\frac{2}{4}$. Так как число положительное, точка M находится на 2 клетки правее точки O(0).
• Точка N(-1,5): Координату $-1,5$ можно записать как $-1\frac{1}{2}$ или $-\frac{3}{2}$. Это равно $-\frac{6}{4}$. Знак "минус" означает, что точка N находится на 6 клеток левее точки O(0).
• Точка P(-3/4): Координата уже представлена в виде дроби $-\frac{3}{4}$. Это означает, что точка P находится на 3 клетки левее точки O(0).
• Точка S(1 1/4): Координату смешанного числа $1\frac{1}{4}$ переведем в неправильную дробь: $\frac{5}{4}$. Точка S находится на 5 клеток правее точки O(0).
• Точка T(-2 1/4): Координату $-2\frac{1}{4}$ переведем в неправильную дробь: $-\frac{9}{4}$. Точка T находится на 9 клеток левее точки O(0).

Если расположить точки на прямой, то слева направо они будут идти в следующем порядке: T, N, P, O(0), M, S.

Ответ: На координатной прямой точки отмечены следующим образом: точка M(0,5) — на 2 клетки правее 0; точка N(-1,5) — на 6 клеток левее 0; точка P(-3/4) — на 3 клетки левее 0; точка S(1 1/4) — на 5 клеток правее 0; точка T(-2 1/4) — на 9 клеток левее 0.

889. Отметьте на координатной прямой точки O (0), A (3), B (7), C (-2), D (-5). Сколько единичных отрезков составляет длина отрезка:

1) $OA$;

2) $OD$;

3) $AB$;

4) $CD$;

5) $AD$?

Для нахождения длины отрезка на координатной прямой необходимо найти модуль разности координат его концов. Если точки имеют координаты $x_1$ и $x_2$, то расстояние между ними равно $|x_2 - x_1|$.

Координаты заданных точек: $O(0), A(3), B(7), C(-2), D(-5)$.

1) OA

Найдем длину отрезка OA. Координата точки O равна 0, координата точки A равна 3.
$OA = |3 - 0| = 3$.
Длина отрезка OA составляет 3 единичных отрезка.
Ответ: 3.

2) OD

Найдем длину отрезка OD. Координата точки O равна 0, координата точки D равна -5.
$OD = |-5 - 0| = |-5| = 5$.
Длина отрезка OD составляет 5 единичных отрезков.
Ответ: 5.

3) AB

Найдем длину отрезка AB. Координата точки A равна 3, координата точки B равна 7.
$AB = |7 - 3| = 4$.
Длина отрезка AB составляет 4 единичных отрезка.
Ответ: 4.

4) CD

Найдем длину отрезка CD. Координата точки C равна -2, координата точки D равна -5.
$CD = |-5 - (-2)| = |-5 + 2| = |-3| = 3$.
Длина отрезка CD составляет 3 единичных отрезка.
Ответ: 3.

5) AD

Найдем длину отрезка AD. Координата точки A равна 3, координата точки D равна -5.
$AD = |3 - (-5)| = |3 + 5| = 8$.
Длина отрезка AD составляет 8 единичных отрезков.
Ответ: 8.

890. Найдите координаты точек $A$, $B$, $C$ и $D$, изображённых на рисунке 9.

Рис. 9

$-12$, $D$, $C$, $A$, $B$, $8$.

Для того чтобы найти координаты точек, изображенных на координатной прямой, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти длину отрезка между известными точками.
На прямой отмечены две точки с координатами -12 и 8. Найдем расстояние между ними, вычитая из большей координаты меньшую:

$8 - (-12) = 8 + 12 = 20$

2. Определить количество равных промежутков (делений) между этими точками.
Визуально подсчитаем количество одинаковых отрезков, на которые разделен интервал от -12 до 8. Это отрезки от -12 до D, от D до C, от C до A, от A до B и от B до 8. Всего получается 5 равных отрезков.

3. Вычислить длину одного промежутка (цену деления).
Разделим общую длину отрезка на количество промежутков:

$20 \div 5 = 4$

Таким образом, цена одного деления на координатной прямой равна 4. Это означает, что координата каждой следующей точки справа на 4 больше предыдущей.

4. Найти координаты искомых точек.
Двигаясь справа от точки с координатой -12, будем последовательно прибавлять 4.

D

Координата точки D — первая после точки -12. Чтобы найти ее, прибавим к -12 цену деления:

$-12 + 4 = -8$

Ответ: D(-8)

C

Координата точки C следует за точкой D(-8). Прибавляем к координате точки D цену деления:

$-8 + 4 = -4$

Ответ: C(-4)

A

Координата точки A следует за точкой C(-4). Прибавляем к координате точки C цену деления:

$-4 + 4 = 0$

Ответ: A(0)

B

Координата точки B следует за точкой A(0). Прибавляем к координате точки A цену деления:

$0 + 4 = 4$

Для проверки можно сделать еще один шаг: от точки B(4) до известной точки 8. $4 + 4 = 8$. Расчеты верны.

Ответ: B(4)

891. Найдите все целые значения x, при которых верно неравенство:

1) $-3.4 < x \leq 2$;

2) $-5 \leq x < 3$.

1) Дано двойное неравенство $-3,4 < x \le 2$. Нам необходимо найти все целые значения $x$, которые удовлетворяют этому неравенству.

Целые числа — это натуральные числа, им противоположные и ноль. На числовой прямой они расположены дискретно.

Рассмотрим левую часть неравенства: $x > -3,4$. Первое целое число, которое больше $-3,4$, это $-3$.

Рассмотрим правую часть неравенства: $x \le 2$. Это означает, что $x$ может быть равен $2$ или любому целому числу, меньшему двух. То есть, наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это $2$.

Таким образом, искомые целые значения $x$ находятся в промежутке от $-3$ до $2$ включительно. Перечислим все эти числа в порядке возрастания: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

2) Дано двойное неравенство $-5 \le x < 3$. Нам необходимо найти все целые значения $x$, которые удовлетворяют этому неравенству.

Рассмотрим левую часть неравенства: $x \ge -5$. Так как неравенство нестрогое, $x$ может быть равен $-5$. Это наименьшее целое число, удовлетворяющее условию.

Рассмотрим правую часть неравенства: $x < 3$. Так как неравенство строгое, $x$ не может быть равен $3$. Наибольшее целое число, которое меньше $3$, это $2$.

Таким образом, искомые целые значения $x$ находятся в промежутке от $-5$ включительно до $3$ не включительно. Перечислим все эти числа в порядке возрастания: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

892. Найдите наибольшее целое число, при котором верно неравенство:

1) $-7 < x < 8$;

2) $x \le 6,7$;

3) $x \le -12$;

4) $x < -12$.

1) В неравенстве $-7 < x < 8$ требуется найти наибольшее целое число $x$. Знак < означает "строго меньше". Таким образом, $x$ должен быть целым числом, которое строго меньше 8. Перечислим целые числа, которые меньше 8, в порядке убывания: 7, 6, 5, ... . Наибольшее из них — это 7. Это число также удовлетворяет левой части неравенства, так как $-7 < 7$.
Ответ: 7

2) В неравенстве $x \le 6,7$ требуется найти наибольшее целое число $x$. Знак $\le$ означает "меньше или равно". Мы ищем наибольшее целое число, которое не превосходит 6,7. Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это 6, 5, 4, ... и так далее. Самым большим в этом ряду является число 6.
Ответ: 6

3) В неравенстве $x \le -12$ требуется найти наибольшее целое число $x$. Знак $\le$ означает "меньше или равно". Это значит, что $x$ может быть равен -12 или быть меньше этого числа. Целые числа, которые удовлетворяют этому условию: ..., -14, -13, -12. Наибольшим из этих чисел является -12.
Ответ: -12

4) В неравенстве $x < -12$ требуется найти наибольшее целое число $x$. Знак < означает "строго меньше". Это значит, что $x$ должен быть строго меньше -12. Целые числа, которые меньше -12, это ..., -15, -14, -13. Наибольшим из этих целых чисел является -13.
Ответ: -13

893. Пусть $x_1, x_2, \dots, x_{25}$ — некоторый набор натуральных чисел, а набор $y_1, y_2, \dots, y_{25}$ получен из него в результате перестановки некоторых чисел. Докажите, что значение выражения $(x_1 - y_1)(x_2 - y_2)\dots(x_{25} - y_{25})$ является чётным числом.

Для того чтобы доказать, что произведение является чётным числом, достаточно показать, что хотя бы один из его множителей — чётное число. То есть, нам нужно доказать, что существует хотя бы один индекс $i$ (от 1 до 25), для которого разность $(x_i - y_i)$ является чётной.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что произведение $P = (x_1 - y_1)(x_2 - y_2)\ldots(x_{25} - y_{25})$ является нечётным числом.

Произведение целых чисел нечётно тогда и только тогда, когда каждый из множителей нечётен. Следовательно, из нашего предположения следует, что каждая из 25 разностей $(x_i - y_i)$ является нечётным числом.

Рассмотрим сумму всех этих разностей:

$S = (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2) + \ldots + (x_{25} - y_{25})$

Так как мы складываем 25 нечётных чисел (нечётное количество нечётных слагаемых), их сумма $S$ также должна быть нечётным числом.

Теперь рассмотрим эту же сумму с другой стороны, перегруппировав слагаемые:

$S = \sum_{i=1}^{25} (x_i - y_i) = \sum_{i=1}^{25} x_i - \sum_{i=1}^{25} y_i$

По условию задачи, набор чисел $\{y_1, y_2, \ldots, y_{25}\}$ — это перестановка набора $\{x_1, x_2, \ldots, x_{25}\}$. Это означает, что оба набора состоят из одних и тех же чисел. Следовательно, сумма элементов в этих наборах одинакова:

$\sum_{i=1}^{25} x_i = \sum_{i=1}^{25} y_i$

Подставляя это равенство в выражение для суммы $S$, получаем:

$S = \sum_{i=1}^{25} x_i - \sum_{i=1}^{25} x_i = 0$

Таким образом, мы пришли к противоречию. С одной стороны, сумма $S$ должна быть нечётной (как сумма 25 нечётных чисел). С другой стороны, мы получили, что $S=0$, а 0 — это чётное число. Одно и то же число не может быть одновременно и чётным, и нечётным.

Это противоречие означает, что наше исходное предположение о том, что произведение $P$ является нечётным, неверно. Следовательно, значение выражения является чётным числом.

Ответ: Значение выражения $(x_1 - y_1)(x_2 - y_2)\ldots(x_{25} - y_{25})$ является чётным числом.