Номер 893, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 893, страница 148.

Условие.

893. Пусть $x_1, x_2, \dots, x_{25}$ — некоторый набор натуральных чисел, а набор $y_1, y_2, \dots, y_{25}$ получен из него в результате перестановки некоторых чисел. Докажите, что значение выражения $(x_1 - y_1)(x_2 - y_2)\dots(x_{25} - y_{25})$ является чётным числом.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что произведение является чётным числом, достаточно показать, что хотя бы один из его множителей — чётное число. То есть, нам нужно доказать, что существует хотя бы один индекс $i$ (от 1 до 25), для которого разность $(x_i - y_i)$ является чётной.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что произведение $P = (x_1 - y_1)(x_2 - y_2)\ldots(x_{25} - y_{25})$ является нечётным числом.

Произведение целых чисел нечётно тогда и только тогда, когда каждый из множителей нечётен. Следовательно, из нашего предположения следует, что каждая из 25 разностей $(x_i - y_i)$ является нечётным числом.

Рассмотрим сумму всех этих разностей:

$S = (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2) + \ldots + (x_{25} - y_{25})$

Так как мы складываем 25 нечётных чисел (нечётное количество нечётных слагаемых), их сумма $S$ также должна быть нечётным числом.

Теперь рассмотрим эту же сумму с другой стороны, перегруппировав слагаемые:

$S = \sum_{i=1}^{25} (x_i - y_i) = \sum_{i=1}^{25} x_i - \sum_{i=1}^{25} y_i$

По условию задачи, набор чисел $\{y_1, y_2, \ldots, y_{25}\}$ — это перестановка набора $\{x_1, x_2, \ldots, x_{25}\}$. Это означает, что оба набора состоят из одних и тех же чисел. Следовательно, сумма элементов в этих наборах одинакова:

$\sum_{i=1}^{25} x_i = \sum_{i=1}^{25} y_i$

Подставляя это равенство в выражение для суммы $S$, получаем:

$S = \sum_{i=1}^{25} x_i - \sum_{i=1}^{25} x_i = 0$

Таким образом, мы пришли к противоречию. С одной стороны, сумма $S$ должна быть нечётной (как сумма 25 нечётных чисел). С другой стороны, мы получили, что $S=0$, а 0 — это чётное число. Одно и то же число не может быть одновременно и чётным, и нечётным.

Это противоречие означает, что наше исходное предположение о том, что произведение $P$ является нечётным, неверно. Следовательно, значение выражения является чётным числом.

Ответ: Значение выражения $(x_1 - y_1)(x_2 - y_2)\ldots(x_{25} - y_{25})$ является чётным числом.