Номер 3, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 5 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 3, страница 151.

Условие.

3. Упростите выражение $(a^2 + 2b^3)(a^4 - 2a^2b^3 + 4b^6)$.

А) $a^6 + 4b^9$

Б) $a^6 - 4b^9$

В) $a^6 - 8b^9$

Г) $a^6 + 8b^9$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

3.

Для упрощения выражения $ (a^2 + 2b^3)(a^4 - 2a^2b^3 + 4b^6) $ воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $ (x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3 $.

В данном выражении пусть $ x = a^2 $ и $ y = 2b^3 $.

Тогда первая скобка $ (a^2 + 2b^3) $ соответствует $ (x+y) $.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $ (a^4 - 2a^2b^3 + 4b^6) $ выражению $ (x^2-xy+y^2) $.

Находим $ x^2 $, $ xy $ и $ y^2 $:

$ x^2 = (a^2)^2 = a^4 $

$ xy = a^2 \cdot 2b^3 = 2a^2b^3 $

$ y^2 = (2b^3)^2 = 2^2 \cdot (b^3)^2 = 4b^6 $

Действительно, вторая скобка представляет собой неполный квадрат разности: $ a^4 - 2a^2b^3 + 4b^6 = (a^2)^2 - (a^2)(2b^3) + (2b^3)^2 $.

Следовательно, исходное выражение является произведением суммы двух выражений на их неполный квадрат разности, что равно сумме их кубов:

$ (a^2 + 2b^3)(a^4 - 2a^2b^3 + 4b^6) = (a^2)^3 + (2b^3)^3 $

Теперь вычислим каждый куб:

$ (a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6 $

$ (2b^3)^3 = 2^3 \cdot (b^3)^3 = 8 \cdot b^{3 \cdot 3} = 8b^9 $

В результате получаем:

$ a^6 + 8b^9 $

Ответ: $ a^6 + 8b^9 $