Страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Представьте в виде многочлена выражение $(x-6)(x^2+6x+36)$.

А) $x^3-36$

Б) $x^3+36$

В) $x^3-216$

Г) $x^3+216$

1. Чтобы представить выражение $(x - 6)(x^2 + 6x + 36)$ в виде многочлена, необходимо распознать в нем формулу сокращенного умножения, а именно "разность кубов".
Формула разности кубов имеет вид: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Сравним исходное выражение с этой формулой.
Пусть $a = x$ и $b = 6$.
Тогда первая скобка $(x - 6)$ соответствует множителю $(a - b)$.
Проверим, соответствует ли вторая скобка $(x^2 + 6x + 36)$ множителю $(a^2 + ab + b^2)$:

• $a^2 = x^2$
• $ab = x \cdot 6 = 6x$
• $b^2 = 6^2 = 36$

Вторая скобка полностью соответствует выражению $x^2 + 6x + 36$.
Следовательно, мы можем применить формулу разности кубов:
$(x - 6)(x^2 + 6x + 36) = x^3 - 6^3$
Осталось вычислить $6^3$:
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$
Таким образом, итоговый многочлен равен $x^3 - 216$.
Этот результат совпадает с вариантом В).
Ответ: В) $x^3 - 216$

2. Найдите многочлен M, если $y^3 - 64 = (y - 4) \cdot M$.

А) $y^2 - 8y + 16$

Б) $y^2 + 8y + 16$

В) $y^2 - 4y + 16$

Г) $y^2 + 4y + 16$

Чтобы найти многочлен M, необходимо решить уравнение $y^3 - 64 = (y - 4) \cdot M$. Для этого выразим M из уравнения:

$M = \frac{y^3 - 64}{y - 4}$

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование формулы разности кубов

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В выражении $y^3 - 64$ мы имеем $a = y$ и $b = \sqrt[3]{64} = 4$.

Применим формулу к числителю дроби:

$y^3 - 64 = y^3 - 4^3 = (y - 4)(y^2 + y \cdot 4 + 4^2) = (y - 4)(y^2 + 4y + 16)$.

Теперь подставим полученное разложение в выражение для M:

$M = \frac{(y - 4)(y^2 + 4y + 16)}{y - 4}$

Сократив дробь на общий множитель $(y - 4)$, мы получаем:

$M = y^2 + 4y + 16$

Способ 2: Деление многочленов столбиком

Мы также можем найти M, выполнив деление многочлена $y^3 - 64$ на двучлен $y - 4$. Для удобства деления запишем делимое в полной форме, добавив члены с нулевыми коэффициентами: $y^3 + 0y^2 + 0y - 64$.

 y² + 4y + 16 ________________y-4 | y³ + 0y² + 0y - 64 -(y³ - 4y²) ---------- 4y² + 0y -(4y² - 16y) ---------- 16y - 64 -(16y - 64) ---------- 0

Результат деления также дает нам искомый многочлен:

$M = y^2 + 4y + 16$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнивая его с предложенными вариантами ответов, мы видим, что правильный ответ находится под буквой Г.

Ответ: Г) $y^2 + 4y + 16$

3. Упростите выражение $(a^2 + 2b^3)(a^4 - 2a^2b^3 + 4b^6)$.

А) $a^6 + 4b^9$

Б) $a^6 - 4b^9$

В) $a^6 - 8b^9$

Г) $a^6 + 8b^9$

3.

Для упрощения выражения $ (a^2 + 2b^3)(a^4 - 2a^2b^3 + 4b^6) $ воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $ (x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3 $.

В данном выражении пусть $ x = a^2 $ и $ y = 2b^3 $.

Тогда первая скобка $ (a^2 + 2b^3) $ соответствует $ (x+y) $.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $ (a^4 - 2a^2b^3 + 4b^6) $ выражению $ (x^2-xy+y^2) $.

Находим $ x^2 $, $ xy $ и $ y^2 $:

$ x^2 = (a^2)^2 = a^4 $

$ xy = a^2 \cdot 2b^3 = 2a^2b^3 $

$ y^2 = (2b^3)^2 = 2^2 \cdot (b^3)^2 = 4b^6 $

Действительно, вторая скобка представляет собой неполный квадрат разности: $ a^4 - 2a^2b^3 + 4b^6 = (a^2)^2 - (a^2)(2b^3) + (2b^3)^2 $.

Следовательно, исходное выражение является произведением суммы двух выражений на их неполный квадрат разности, что равно сумме их кубов:

$ (a^2 + 2b^3)(a^4 - 2a^2b^3 + 4b^6) = (a^2)^3 + (2b^3)^3 $

Теперь вычислим каждый куб:

$ (a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6 $

$ (2b^3)^3 = 2^3 \cdot (b^3)^3 = 8 \cdot b^{3 \cdot 3} = 8b^9 $

В результате получаем:

$ a^6 + 8b^9 $

Ответ: $ a^6 + 8b^9 $

4. Разложите на множители многочлен $3c^2 - 48$.

А) $3(c - 16)$

Б) $3(c - 4)(c + 4)$

В) $3(c - 4)^2$

Г) $3c(c - 16)$

Задача состоит в том, чтобы разложить многочлен $3c^2 - 48$ на множители. Сначала выполним разложение, а затем сравним результат с предложенными вариантами.

1. Первым шагом вынесем общий множитель за скобки. Оба члена многочлена, $3c^2$ и $48$, делятся на 3. Получаем:

$3c^2 - 48 = 3(c^2 - 16)$

2. Вторым шагом разложим выражение в скобках $(c^2 - 16)$. Это выражение является разностью квадратов, так как $c^2$ — это квадрат переменной $c$, а $16$ — это квадрат числа $4$ ($16 = 4^2$).

Применяем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = c$ и $b = 4$, поэтому:

$c^2 - 16 = (c - 4)(c + 4)$

3. Объединяя результаты, получаем полное разложение исходного многочлена:

$3(c^2 - 16) = 3(c - 4)(c + 4)$

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов.

А) $3(c - 16)$

Если раскрыть скобки, получится $3c - 48$. Это выражение не равно исходному $3c^2 - 48$. Следовательно, этот вариант неверный.

Б) $3(c - 4)(c + 4)$

Этот вариант полностью совпадает с результатом, полученным нами при разложении. Для проверки можно раскрыть скобки: $3(c^2 - 4^2) = 3(c^2 - 16) = 3c^2 - 48$. Этот вариант верный.

В) $3(c - 4)^2$

Используя формулу квадрата разности, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем: $3(c^2 - 8c + 16) = 3c^2 - 24c + 48$. Это выражение не равно исходному. Следовательно, этот вариант неверный.

Г) $3c(c - 16)$

Если раскрыть скобки, получится $3c^2 - 48c$. Это выражение не равно исходному. Следовательно, этот вариант неверный.

Ответ: Б) $3(c - 4)(c + 4)$

5. Разложите на множители выражение $7a^2 - 42a + 63$.

А) $7(a - 3)(a + 3)$

Б) $7(a - 3)^2$

В) $7(a + 3)^2$

Г) $7(a - 9)^2$

Чтобы разложить на множители выражение $7a^2 - 42a + 63$, необходимо последовательно выполнить следующие шаги.

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Все коэффициенты выражения (7, -42 и 63) делятся на 7. Вынесем этот общий числовой множитель за скобки:

$7a^2 - 42a + 63 = 7(a^2 - 6a + 9)$

2. Разложение на множители выражения в скобках.

Теперь рассмотрим трехчлен, который остался в скобках: $a^2 - 6a + 9$. Это выражение является полным квадратом и соответствует формуле сокращенного умножения "квадрат разности": $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае:

Первый член: $x^2 = a^2$, следовательно, $x=a$.

Третий член: $y^2 = 9$, следовательно, $y=3$.

Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a \cdot 3 = 6a$. Это соответствует второму члену выражения (с учетом знака "минус").

Таким образом, мы можем свернуть трехчлен в квадрат разности:

$a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$

3. Запись окончательного результата.

Подставим полученное выражение обратно в результат первого шага:

$7(a^2 - 6a + 9) = 7(a-3)^2$

Полученное выражение $7(a-3)^2$ соответствует варианту ответа Б.

Ответ: Б) $7(a-3)^2$

6. Разложите на множители многочлен $a^8 - a^6$.

А) $a^6(a-1)$

Б) $a^6(a-1)(a+1)$

В) $a^6(a+1)^2$}

Г) $a^6(a-1)^2$

Чтобы разложить на множители многочлен $a^8 - a^6$, необходимо выполнить два основных шага.

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Находим наибольший общий делитель для одночленов $a^8$ и $a^6$. Это будет степень переменной $a$ с наименьшим показателем, то есть $a^6$. Выносим $a^6$ за скобки, разделив каждый член многочлена на $a^6$:

$a^8 - a^6 = a^6 \cdot \frac{a^8}{a^6} - a^6 \cdot \frac{a^6}{a^6} = a^6(a^{8-6} - a^{6-6}) = a^6(a^2 - a^0)$

Поскольку любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, получаем:

$a^6(a^2 - 1)$

2. Применение формулы разности квадратов.

Выражение в скобках, $(a^2 - 1)$, является разностью квадратов. Вспомним формулу сокращенного умножения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В нашем случае $x = a$ и $y = 1$ (так как $1^2 = 1$). Применяем эту формулу к выражению $(a^2 - 1)$:

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

Теперь подставим полученное разложение обратно в выражение из первого шага:

$a^6(a^2 - 1) = a^6(a - 1)(a + 1)$

Мы разложили исходный многочлен на три множителя: $a^6$, $(a - 1)$ и $(a + 1)$. Этот результат соответствует варианту ответа Б.

Ответ: $a^6(a - 1)(a + 1)$

7. Разложите на множители выражение $m^2 - n^2 + m + n$.

А) $(m + n)(m - n + 1)$

Б) $(m - n)(m - n + 1)$

В) $(m - n)(m + n + 1)$

Г) $(m + n)(m + n + 1)$

Для того чтобы разложить на множители выражение $m^2 - n^2 + m + n$, будем использовать метод группировки слагаемых и формулу разности квадратов.

1. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$(m^2 - n^2) + (m + n)$

2. Первый член в скобках, $m^2 - n^2$, представляет собой разность квадратов. Применим к нему формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$

3. Подставим полученное разложение обратно в наше выражение:

$(m - n)(m + n) + (m + n)$

4. Теперь мы видим, что у обоих слагаемых, $(m - n)(m + n)$ и $(m + n)$, есть общий множитель $(m + n)$. Вынесем его за скобки. Чтобы было понятнее, можно представить второе слагаемое как $1 \cdot (m+n)$:

$(m - n)(m + n) + 1 \cdot (m + n) = (m + n) \cdot ((m - n) + 1)$

5. Упростим выражение во второй скобке:

$(m + n)(m - n + 1)$

Полученное выражение соответствует варианту ответа А.

Ответ: А) $(m + n)(m - n + 1)$

8. Представьте в виде произведения выражение $x^2 - y^2 + 14y - 49$.

A) $(x - y + 7)(x + y + 7)$

Б) $(x - y - 7)(x + y + 7)$

В) $(x - y + 7)(x + y - 7)$

Г) $(x - y - 7)(x + y - 7)$

Чтобы представить выражение $x^2 - y^2 + 14y - 49$ в виде произведения, необходимо выполнить группировку слагаемых и применить формулы сокращенного умножения.

Сначала сгруппируем три последних слагаемых и вынесем знак минус за скобки:

$x^2 - (y^2 - 14y + 49)$

Выражение в скобках, $y^2 - 14y + 49$, представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = y$ и $b = 7$. Проверим, что удвоенное произведение $2ab$ совпадает со средним членом: $2 \cdot y \cdot 7 = 14y$.

Следовательно, выражение в скобках можно свернуть следующим образом:

$y^2 - 14y + 49 = (y - 7)^2$

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

$x^2 - (y - 7)^2$

Мы получили разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В данном случае $a = x$ и $b = (y - 7)$.

Применим эту формулу:

$x^2 - (y - 7)^2 = (x - (y - 7))(x + (y - 7))$

Раскроем внутренние скобки в каждом из множителей, обращая внимание на знаки:

$(x - y + 7)(x + y - 7)$

Полученное произведение соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) $(x - y + 7)(x + y - 7)$

9. Разложите на множители многочлен $81a^4 - 1$.

А) $(3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$

Б) $(3a^2 - 1)(3a^2 + 1)(9a^2 + 1)$

В) $(3a - 1)^2(3a + 1)^2$

Г) $(3a - 1)^4$

Для разложения многочлена $81a^4 - 1$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Шаг 1: Представим исходное выражение в виде разности двух квадратов. Заметим, что $81a^4$ можно записать как $(9a^2)^2$, а $1$ можно записать как $1^2$. Таким образом, получаем:

$81a^4 - 1 = (9a^2)^2 - 1^2$

Шаг 2: Применим формулу разности квадратов к выражению $(9a^2)^2 - 1^2$. Здесь $x = 9a^2$ и $y = 1$.

$(9a^2)^2 - 1^2 = (9a^2 - 1)(9a^2 + 1)$

Шаг 3: Проанализируем полученные множители. Первый множитель $9a^2 - 1$ также является разностью квадратов, так как $9a^2 = (3a)^2$ и $1 = 1^2$. Снова применим формулу разности квадратов, где теперь $x = 3a$ и $y = 1$:

$9a^2 - 1 = (3a)^2 - 1^2 = (3a - 1)(3a + 1)$

Второй множитель $9a^2 + 1$ является суммой квадратов и не может быть разложен на множители с действительными коэффициентами.

Шаг 4: Соберем все множители вместе. Подставим результат из шага 3 в выражение, полученное на шаге 2:

$81a^4 - 1 = (9a^2 - 1)(9a^2 + 1) = (3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$

Полученное выражение является окончательным разложением многочлена на множители. Сравнив его с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом А.

Ответ: А) $(3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$

10. Решите уравнение $49x - x^2 = 0$.

А) 0; 7Б) -7; 0; 7В) 0; 49Г) -7; 7

Для решения уравнения $49x - x^2 = 0$ мы имеем дело с неполным квадратным уравнением, где свободный член равен нулю. Наиболее простой способ решения в данном случае — это разложение на множители.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(49 - x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к двум простым уравнениям:

1) $x = 0$

2) $49 - x = 0$

Из первого уравнения мы сразу получаем первый корень: $x_1 = 0$.

Теперь решим второе уравнение, чтобы найти второй корень:

$49 - x = 0$

Перенеся $x$ в правую часть, получим:

$x_2 = 49$

Таким образом, уравнение $49x - x^2 = 0$ имеет два корня: 0 и 49. Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту В).

Ответ: В) 0; 49

11. Решите уравнение $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0.$

А) $-1; 1$

Б) $-1; 3$

В) $1; 3$

Г) $-3; -1; 1$

Для решения уравнения $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$ воспользуемся методом разложения на множители путем группировки слагаемых.

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(x^3 + 3x^2) - (x + 3) = 0$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$:
$x^2(x + 3) - 1(x + 3) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий для обоих слагаемых множитель $(x + 3)$:
$(x + 3)(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:
$x + 3 = 0$ или $x^2 - 1 = 0$.

Решим каждое уравнение по отдельности:
1) Из уравнения $x + 3 = 0$ находим первый корень: $x_1 = -3$.
2) Уравнение $x^2 - 1 = 0$ является неполным квадратным уравнением. Перенесем 1 в правую часть: $x^2 = 1$. Отсюда находим еще два корня: $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: -3, -1, 1.

Ответ: -3; -1; 1.

12. Представьте в виде произведения выражение $(x^2 - 2)^2 - 4(x^2 - 2) + 4$.

А) $(x - 4)^2$

Б) $(x - 2)^2(x + 2)^2$

В) $x^4$

Г) $(x^2 - 6)^2$

Для того чтобы представить выражение $(x^2 - 2)^2 - 4(x^2 - 2) + 4$ в виде произведения, воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $y = x^2 - 2$. Тогда исходное выражение примет вид:

$y^2 - 4y + 4$

Это выражение является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле сокращенного умножения $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. В нашем случае $a = y$ и $b = 2$.

$y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = (y - 2)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $y$ выражение $x^2 - 2$:

$( (x^2 - 2) - 2 )^2 = (x^2 - 4)^2$

Выражение в скобках, $(x^2 - 4)$, является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(x^2 - 4)^2 = ((x - 2)(x + 2))^2$

Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем окончательный вид произведения:

$(x - 2)^2(x + 2)^2$

Этот результат соответствует варианту ответа Б.

Ответ: Б) $(x - 2)^2(x + 2)^2$