Страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

843. Разложите на множители многочлен:

1) $2a^2 - 2b^2$;

2) $cx^2 - cy^2$;

3) $3x^2 - 3$;

4) $3ab^2 - 27a$;

5) $x^3 - 4x$;

6) $2y^3 - 18y$;

7) $x^4 - x^2$;

8) $0,09t^4 - t^6$;

9) $\frac{16}{49}a^2b^4c^5 - b^2c^3$.

1) Для разложения многочлена $2a^2 - 2b^2$ на множители, сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для обоих членов является 2.
$2a^2 - 2b^2 = 2(a^2 - b^2)$
Теперь выражение в скобках $a^2 - b^2$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
$2(a^2 - b^2) = 2(a-b)(a+b)$
Ответ: $2(a-b)(a+b)$.

2) В многочлене $cx^2 - cy^2$ вынесем за скобки общий множитель $c$.
$cx^2 - cy^2 = c(x^2 - y^2)$
Выражение в скобках $x^2 - y^2$ является разностью квадратов. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$c(x^2 - y^2) = c(x-y)(x+y)$
Ответ: $c(x-y)(x+y)$.

3) В выражении $3x^2 - 3$ вынесем общий множитель 3 за скобки.
$3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$
В скобках получили разность квадратов, так как $1 = 1^2$. Применяем формулу разности квадратов.
$3(x^2 - 1^2) = 3(x-1)(x+1)$
Ответ: $3(x-1)(x+1)$.

4) Для многочлена $3ab^2 - 27a$ найдем общий множитель. Для коэффициентов 3 и 27 это 3, а из переменных — $a$. Таким образом, общий множитель — $3a$.
$3ab^2 - 27a = 3a(b^2 - 9)$
Выражение в скобках $b^2 - 9$ является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$.
$3a(b^2 - 3^2) = 3a(b-3)(b+3)$
Ответ: $3a(b-3)(b+3)$.

5) В многочлене $x^3 - 4x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки.
$x^3 - 4x = x(x^2 - 4)$
Выражение в скобках $x^2 - 4$ — это разность квадратов, поскольку $4=2^2$.
$x(x^2 - 2^2) = x(x-2)(x+2)$
Ответ: $x(x-2)(x+2)$.

6) В выражении $2y^3 - 18y$ общим множителем является $2y$. Вынесем его за скобки.
$2y^3 - 18y = 2y(y^2 - 9)$
В скобках имеем разность квадратов $y^2 - 9 = y^2 - 3^2$.
$2y(y^2 - 3^2) = 2y(y-3)(y+3)$
Ответ: $2y(y-3)(y+3)$.

7) В многочлене $x^4 - x^2$ вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $x^2$.
$x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1)$
Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов.
$x^2(x^2 - 1^2) = x^2(x-1)(x+1)$
Ответ: $x^2(x-1)(x+1)$.

8) В многочлене $0,09t^4 - t^6$ вынесем за скобки общий множитель $t^4$.
$0,09t^4 - t^6 = t^4(0,09 - t^2)$
Выражение в скобках является разностью квадратов, так как $0,09 = (0,3)^2$.
$t^4((0,3)^2 - t^2) = t^4(0,3-t)(0,3+t)$
Ответ: $t^4(0,3-t)(0,3+t)$.

9) Рассмотрим многочлен $\frac{16}{49}a^2b^4c^5 - b^2c^3$. Найдем общий множитель. Для переменных это $b^2c^3$. Вынесем его за скобки.
$\frac{16}{49}a^2b^4c^5 - b^2c^3 = b^2c^3(\frac{16}{49}a^2b^{4-2}c^{5-3} - 1) = b^2c^3(\frac{16}{49}a^2b^2c^2 - 1)$
Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, так как $\frac{16}{49}a^2b^2c^2 = (\frac{4}{7}abc)^2$ и $1 = 1^2$.
$b^2c^3((\frac{4}{7}abc)^2 - 1^2) = b^2c^3(\frac{4}{7}abc - 1)(\frac{4}{7}abc + 1)$
Ответ: $b^2c^3(\frac{4}{7}abc - 1)(\frac{4}{7}abc + 1)$.

844. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $12b^2 - 12c^2$;

2) $2a^2c - 2b^2c$;

3) $5a^2 - 20$;

4) $3mn^2 - 48m$;

5) $7y^3 - 7y$;

6) $a^3 - a^5$.

1) $12b^2 - 12c^2$

Чтобы представить многочлен в виде произведения, сначала вынесем общий множитель за скобки. В данном случае общий множитель — это 12.
$12b^2 - 12c^2 = 12(b^2 - c^2)$
Теперь выражение в скобках, $b^2 - c^2$, является разностью квадратов. Применим формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$12(b^2 - c^2) = 12(b - c)(b + c)$
Ответ: $12(b - c)(b + c)$

2) $2a^2c - 2b^2c$

Найдем и вынесем за скобки общий множитель. Общий числовой множитель равен 2, а общий буквенный множитель — $c$. Таким образом, выносим за скобки $2c$.
$2a^2c - 2b^2c = 2c(a^2 - b^2)$
Выражение в скобках, $a^2 - b^2$, является разностью квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$2c(a^2 - b^2) = 2c(a - b)(a + b)$
Ответ: $2c(a - b)(a + b)$

3) $5a^2 - 20$

Вынесем общий числовой множитель 5 за скобки.
$5a^2 - 20 = 5(a^2 - 4)$
Заметим, что выражение в скобках, $a^2 - 4$, можно представить как разность квадратов, поскольку $4 = 2^2$.
$5(a^2 - 4) = 5(a^2 - 2^2)$
Применим формулу разности квадратов:
$5(a - 2)(a + 2)$
Ответ: $5(a - 2)(a + 2)$

4) $3mn^2 - 48m$

Вынесем общий множитель за скобки. Общий числовой множитель — 3 (так как 48 делится на 3, $48 = 3 \cdot 16$), а общий буквенный — $m$. Выносим $3m$.
$3mn^2 - 48m = 3m(n^2 - 16)$
Выражение в скобках, $n^2 - 16$, является разностью квадратов, так как $16 = 4^2$.
$3m(n^2 - 16) = 3m(n^2 - 4^2)$
Применим формулу разности квадратов:
$3m(n - 4)(n + 4)$
Ответ: $3m(n - 4)(n + 4)$

5) $7y^3 - 7y$

Вынесем за скобки общий множитель $7y$.
$7y^3 - 7y = 7y(y^2 - 1)$
Выражение в скобках, $y^2 - 1$, является разностью квадратов, поскольку $1 = 1^2$.
$7y(y^2 - 1) = 7y(y^2 - 1^2)$
Применим формулу разности квадратов:
$7y(y - 1)(y + 1)$
Ответ: $7y(y - 1)(y + 1)$

6) $a^3 - a^5$

Вынесем за скобки общий множитель. В данном случае это переменная в наименьшей степени, то есть $a^3$.
$a^3 - a^5 = a^3(1 - a^2)$
Выражение в скобках, $1 - a^2$, является разностью квадратов ($1 = 1^2$).
$a^3(1 - a^2) = a^3(1^2 - a^2)$
Применим формулу разности квадратов:
$a^3(1 - a)(1 + a)$
Ответ: $a^3(1 - a)(1 + a)$

845. Завершите разложение на множители:

1) $9a^2b^2 - 6ab^2 + b^2 = b^2(9a^2 - 6a + 1) = \dots$;

2) $4b^2c - 20abc + 25a^2c = c(4b^2 - 20ab + 25a^2) = \dots$;

3) $-3m^3 + 6m^2n - 3mn^2 = -3m(m^2 - 2mn + n^2) = \dots$

1) Для завершения разложения выражения $9a^2b^2 - 6ab^2 + b^2 = b^2(9a^2 - 6a + 1)$ необходимо разложить на множители трехчлен в скобках $9a^2 - 6a + 1$. Данный трехчлен является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае:

• Квадрат первого члена: $x^2 = 9a^2$, откуда $x = 3a$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = 1$, откуда $y = 1$.
• Удвоенное произведение первого и второго членов со знаком минус: $-2xy = -2 \cdot 3a \cdot 1 = -6a$.

Так как все члены совпадают с формулой, то $9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$. Подставляя это в исходное выражение, получаем итоговое разложение.
$9a^2b^2 - 6ab^2 + b^2 = b^2(9a^2 - 6a + 1) = b^2(3a - 1)^2$.
Ответ: $b^2(3a - 1)^2$.

2) Для завершения разложения выражения $4b^2c - 20abc + 25a^2c = c(4b^2 - 20ab + 25a^2)$ необходимо разложить на множители трехчлен в скобках $4b^2 - 20ab + 25a^2$. Этот трехчлен также является полным квадратом разности и соответствует формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае:

• Квадрат первого члена: $x^2 = 4b^2$, откуда $x = 2b$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = 25a^2$, откуда $y = 5a$.
• Удвоенное произведение первого и второго членов со знаком минус: $-2xy = -2 \cdot 2b \cdot 5a = -20ab$.

Все члены совпадают с формулой, следовательно, $4b^2 - 20ab + 25a^2 = (2b - 5a)^2$. Получаем итоговое разложение.
$4b^2c - 20abc + 25a^2c = c(4b^2 - 20ab + 25a^2) = c(2b - 5a)^2$.
Ответ: $c(2b - 5a)^2$.

3) Для завершения разложения выражения $-3m^3 + 6m^2n - 3mn^2 = -3m(m^2 - 2mn + n^2)$ необходимо разложить на множители трехчлен в скобках $m^2 - 2mn + n^2$. Трехчлен $m^2 - 2mn + n^2$ является классическим примером квадрата разности, который раскладывается по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x = m$ и $y = n$. Следовательно, $m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2$. Подставляя это в исходное выражение, получаем итоговое разложение.
$-3m^3 + 6m^2n - 3mn^2 = -3m(m^2 - 2mn + n^2) = -3m(m - n)^2$.
Ответ: $-3m(m - n)^2$.

846. Разложите на множители:

1) $3a^2 + 6ab + 3b^2$;

2) $5m^2 + 5n^2 - 10mn$;

3) $-3x^2 + 12x - 12$;

4) $-7b^2 - 14bc - 7c^2$;

5) $x^2y + 14xy^2 + 49y^3$;

6) $-8a^3b + 56a^2b^2 - 98ab^3$.

1) $3a^2 + 6ab + 3b^2$
Первым шагом вынесем общий числовой множитель 3 за скобки: $3(a^2 + 2ab + b^2)$.
Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
В данном случае $x=a$ и $y=b$, следовательно, $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $3(a+b)^2$.
Ответ: $3(a+b)^2$.

2) $5m^2 + 5n^2 - 10mn$
Для удобства переставим члены многочлена: $5m^2 - 10mn + 5n^2$.
Вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(m^2 - 2mn + n^2)$.
Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
Здесь $x=m$ и $y=n$, поэтому $m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$.
В результате получаем $5(m-n)^2$.
Ответ: $5(m-n)^2$.

3) $-3x^2 + 12x - 12$
Вынесем общий множитель -3 за скобки. При этом знаки в скобках изменятся на противоположные: $-3(x^2 - 4x + 4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=2$, так как $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.
Итоговое выражение: $-3(x-2)^2$.
Ответ: $-3(x-2)^2$.

4) $-7b^2 - 14bc - 7c^2$
Вынесем общий множитель -7 за скобки: $-7(b^2 + 2bc + c^2)$.
Выражение в скобках — это квадрат суммы: $(b+c)^2 = b^2+2bc+c^2$.
Следовательно, получаем $-7(b+c)^2$.
Ответ: $-7(b+c)^2$.

5) $x^2y + 14xy^2 + 49y^3$
Вынесем общий множитель $y$ за скобки: $y(x^2 + 14xy + 49y^2)$.
Рассмотрим выражение в скобках. Это полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Здесь $a=x$ и $b=7y$, так как $x^2 + 14xy + 49y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (7y) + (7y)^2 = (x+7y)^2$.
В итоге получаем $y(x+7y)^2$.
Ответ: $y(x+7y)^2$.

6) $-8a^3b + 56a^2b^2 - 98ab^3$
Найдем общий множитель для всех членов. Для коэффициентов $-8, 56, -98$ общий делитель 2. Для переменных — $ab$. Вынесем за скобки $-2ab$:
$-2ab(4a^2 - 28ab + 49b^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности. Применим формулу $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
В нашем случае $x=2a$ и $y=7b$, так как $4a^2 - 28ab + 49b^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot (7b) + (7b)^2 = (2a-7b)^2$.
Окончательный вид выражения: $-2ab(2a-7b)^2$.
Ответ: $-2ab(2a-7b)^2$.

847. Разложите на множители:

1) $8x^2 + 16xy + 8y^2$;

2) $-2a^2 + 24ab - 72b^2$;

3) $-12b^3 - 12b^2 - 3b$;

4) $48m^3n - 72m^2n + 27mn.$

1) Для разложения на множители выражения $8x^2 + 16xy + 8y^2$ первым шагом вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для всех членов является число 8.
$8x^2 + 16xy + 8y^2 = 8(x^2 + 2xy + y^2)$
Выражение в скобках $x^2 + 2xy + y^2$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=y$.
$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$
Подставим это обратно в наше выражение:
$8(x^2 + 2xy + y^2) = 8(x+y)^2$
Ответ: $8(x+y)^2$

2) Рассмотрим выражение $-2a^2 + 24ab - 72b^2$. Вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для коэффициентов -2, 24 и -72 является -2.
$-2a^2 + 24ab - 72b^2 = -2(a^2 - 12ab + 36b^2)$
Выражение в скобках $a^2 - 12ab + 36b^2$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае первый член это $a^2$, а второй член это $36b^2 = (6b)^2$. Проверим средний член: $-2 \cdot a \cdot 6b = -12ab$. Формула верна.
$a^2 - 12ab + 36b^2 = (a-6b)^2$
Таким образом, окончательное разложение на множители:
$-2(a^2 - 12ab + 36b^2) = -2(a-6b)^2$
Ответ: $-2(a-6b)^2$

3) Для выражения $-12b^3 - 12b^2 - 3b$ найдем общий множитель. Общий числовой множитель для -12, -12 и -3 это -3. Общий переменный множитель это $b$. Значит, выносим за скобки $-3b$.
$-12b^3 - 12b^2 - 3b = -3b(4b^2 + 4b + 1)$
Выражение в скобках $4b^2 + 4b + 1$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = 2b$ и $b = 1$. Проверим: $(2b)^2 + 2 \cdot (2b) \cdot 1 + 1^2 = 4b^2 + 4b + 1$. Формула верна.
$4b^2 + 4b + 1 = (2b+1)^2$
Следовательно, итоговое разложение:
$-3b(4b^2 + 4b + 1) = -3b(2b+1)^2$
Ответ: $-3b(2b+1)^2$

4) В выражении $48m^3n - 72m^2n + 27mn$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 48, 72 и 27 равен 3. Общий переменный множитель для $m^3n$, $m^2n$ и $mn$ равен $mn$. Вынесем $3mn$ за скобки.
$48m^3n - 72m^2n + 27mn = 3mn(16m^2 - 24m + 9)$
Выражение в скобках $16m^2 - 24m + 9$ является полным квадратом разности. Применим формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=4m$ и $b=3$. Проверим: $(4m)^2 - 2 \cdot (4m) \cdot 3 + 3^2 = 16m^2 - 24m + 9$. Формула верна.
$16m^2 - 24m + 9 = (4m-3)^2$
Окончательный результат разложения на множители:
$3mn(16m^2 - 24m + 9) = 3mn(4m-3)^2$
Ответ: $3mn(4m-3)^2$

848. Завершите разложение на множители:

1) $a^4 - 10000 = (a^2)^2 - 100^2 = (a^2 - 100)(a^2 + 100) = ...$;

2) $m^8 - n^4 = (m^4)^2 - (n^2)^2 = (m^4 - n^2)(m^4 + n^2) = ...$

1) Чтобы завершить разложение, необходимо продолжить с выражения $(a^2 - 100)(a^2 + 100)$.

Мы видим, что первый множитель $(a^2 - 100)$ является разностью квадратов, так как $a^2 = (a)^2$ и $100 = 10^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$a^2 - 100 = (a - 10)(a + 10)$

Второй множитель $(a^2 + 100)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение исходного выражения $a^4 - 10000$ на множители выглядит так:

$(a - 10)(a + 10)(a^2 + 100)$

Ответ: $(a - 10)(a + 10)(a^2 + 100)$.

2) Чтобы завершить разложение, продолжим с выражения $(m^4 - n^2)(m^4 + n^2)$.

Рассмотрим первый множитель $(m^4 - n^2)$. Это тоже разность квадратов, где $m^4 = (m^2)^2$ и $n^2 = (n)^2$. Снова применяем формулу разности квадратов:

$m^4 - n^2 = (m^2 - n)(m^2 + n)$

Второй множитель $(m^4 + n^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Собрав все вместе, получаем окончательное разложение исходного выражения $m^8 - n^4$ на множители:

$(m^2 - n)(m^2 + n)(m^4 + n^2)$

Ответ: $(m^2 - n)(m^2 + n)(m^4 + n^2)$.

849. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $a^4 - b^4$;

2) $c^4 - 81$.

1) $a^4 - b^4$:

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим исходное выражение в виде разности квадратов. Так как $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$, мы можем применить эту формулу.

На первом шаге разложения, полагая $x = a^2$ и $y = b^2$, получаем:

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$

Заметим, что первый множитель в полученном произведении, $(a^2 - b^2)$, также является разностью квадратов и может быть разложен далее по той же формуле.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Второй множитель, $(a^2 + b^2)$, является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Подставляя разложение $(a^2 - b^2)$ в выражение, полученное на первом шаге, мы получаем окончательный результат:

$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$

Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$

2) $c^4 - 81$:

Для разложения этого многочлена также применяется формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Сначала представим многочлен в виде разности квадратов. Заметим, что $c^4 = (c^2)^2$ и $81 = 9^2$.

Применим формулу, где $x = c^2$ и $y = 9$:

$c^4 - 81 = (c^2)^2 - 9^2 = (c^2 - 9)(c^2 + 9)$

Множитель $(c^2 - 9)$ снова является разностью квадратов, так как $9$ можно представить как $3^2$. Разложим его:

$c^2 - 9 = c^2 - 3^2 = (c - 3)(c + 3)$

Множитель $(c^2 + 9)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговое разложение на множители:

$(c - 3)(c + 3)(c^2 + 9)$

Ответ: $(c - 3)(c + 3)(c^2 + 9)$

850. Разложите на множители:

1) $x^4 - 16$;

2) $y^8 - 1$.

1)
Для разложения на множители выражения $x^4 - 16$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Сначала представим исходное выражение как разность квадратов:
$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2$
Применив формулу, где $a = x^2$ и $b = 4$, получим:
$(x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$
Теперь заметим, что первый множитель, $(x^2 - 4)$, также является разностью квадратов: $x^2 - 2^2$. Снова применим формулу, где $a = x$ и $b = 2$:
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
Второй множитель, $(x^2 + 4)$, является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:
$x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$
Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

2)
Для разложения выражения $y^8 - 1$ будем последовательно применять формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Шаг 1. Представим $y^8 - 1$ как разность квадратов $(y^4)^2 - 1^2$ и применим формулу:
$y^8 - 1 = (y^4 - 1)(y^4 + 1)$
Шаг 2. Множитель $(y^4 - 1)$ также является разностью квадратов: $(y^2)^2 - 1^2$. Разложим его:
$y^4 - 1 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)$
Шаг 3. В свою очередь, множитель $(y^2 - 1)$ — это разность квадратов $y^2 - 1^2$:
$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$
Множители $(y^2 + 1)$ и $(y^4 + 1)$ являются суммами квадратов и не раскладываются на множители с целыми коэффициентами.
Собирая все множители вместе, получаем итоговое разложение:
$y^8 - 1 = (y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$
Ответ: $(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$.

851. Завершите разложение на множители:

1) $16x - 2x^4 = 2x(8 - x^3) = ...;$

2) $3a^5 + 375a^2 = 3a^2(a^3 + 125) = ... .$

1) Завершим разложение на множители выражения $16x - 2x^4 = 2x(8 - x^3)$.
Выражение в скобках, $8 - x^3$, представляет собой разность кубов. Для его разложения применим формулу сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В данном случае, $a = 2$, так как $2^3 = 8$, и $b = x$.
Подставим эти значения в формулу:
$8 - x^3 = 2^3 - x^3 = (2 - x)(2^2 + 2 \cdot x + x^2) = (2 - x)(4 + 2x + x^2)$.
Теперь подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:
$2x(8 - x^3) = 2x(2 - x)(4 + 2x + x^2)$.
Таким образом, полное разложение на множители завершено.

Ответ: $2x(2 - x)(4 + 2x + x^2)$

2) Завершим разложение на множители выражения $3a^5 + 375a^2 = 3a^2(a^3 + 125)$.
Выражение в скобках, $a^3 + 125$, представляет собой сумму кубов. Для его разложения применим формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В данном случае, первый член — это $a$, а второй — $b = 5$, так как $5^3 = 125$.
Подставим эти значения в формулу:
$a^3 + 125 = a^3 + 5^3 = (a + 5)(a^2 - a \cdot 5 + 5^2) = (a + 5)(a^2 - 5a + 25)$.
Теперь подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:
$3a^2(a^3 + 125) = 3a^2(a + 5)(a^2 - 5a + 25)$.
Таким образом, полное разложение на множители завершено.

Ответ: $3a^2(a + 5)(a^2 - 5a + 25)$

852. Разложите на множители:

1) $4a^3 - 4b^3;$

2) $2m^3 - 16;$

3) $7 + 7b^3;$

4) $-x^4 + 27x,$

5) $2a^4 - 250a;$

6) $9a^5 - 9a^2.$

1) $4a^3 - 4b^3$

Первым шагом вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4a^3 - 4b^3 = 4(a^3 - b^3)$

Выражение в скобках, $a^3 - b^3$, является разностью кубов. Применим формулу сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В данном случае $x=a$ и $y=b$. Подставляем в формулу:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Объединяем все вместе и получаем итоговое разложение:

$4(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $4(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

2) $2m^3 - 16$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2m^3 - 16 = 2(m^3 - 8)$

Заметим, что 8 это $2^3$. Выражение в скобках является разностью кубов:

$m^3 - 8 = m^3 - 2^3$

Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x=m$ и $y=2$.

$m^3 - 2^3 = (m - 2)(m^2 + m \cdot 2 + 2^2) = (m - 2)(m^2 + 2m + 4)$

Таким образом, полное разложение на множители:

$2(m - 2)(m^2 + 2m + 4)$

Ответ: $2(m - 2)(m^2 + 2m + 4)$

3) $7 + 7b^3$

Вынесем общий множитель 7 за скобки:

$7 + 7b^3 = 7(1 + b^3)$

Выражение в скобках, $1 + b^3$, представляет собой сумму кубов, так как $1 = 1^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

В нашем случае $x=1$ и $y=b$. Применяем формулу:

$1^3 + b^3 = (1 + b)(1^2 - 1 \cdot b + b^2) = (1 + b)(1 - b + b^2)$

Итоговое разложение:

$7(1 + b)(1 - b + b^2)$

Ответ: $7(1 + b)(1 - b + b^2)$

4) $-x^4 + 27x$

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки, чтобы получить в скобках положительный старший член:

$-x^4 + 27x = -x(x^3 - 27)$

Выражение в скобках, $x^3 - 27$, является разностью кубов, так как $27 = 3^3$.

$x^3 - 27 = x^3 - 3^3$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=x$ и $b=3$.

$x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + x \cdot 3 + 3^2) = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

Полное разложение выглядит так:

$-x(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

Ответ: $-x(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

5) $2a^4 - 250a$

Вынесем общий множитель $2a$ за скобки:

$2a^4 - 250a = 2a(a^3 - 125)$

Выражение в скобках, $a^3 - 125$, является разностью кубов, так как $125 = 5^3$.

$a^3 - 125 = a^3 - 5^3$

Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x=a$ и $y=5$.

$a^3 - 5^3 = (a - 5)(a^2 + a \cdot 5 + 5^2) = (a - 5)(a^2 + 5a + 25)$

Таким образом, итоговое разложение:

$2a(a - 5)(a^2 + 5a + 25)$

Ответ: $2a(a - 5)(a^2 + 5a + 25)$

6) $9a^5 - 9a^2$

Вынесем общий множитель $9a^2$ за скобки:

$9a^5 - 9a^2 = 9a^2(a^3 - 1)$

Выражение в скобках, $a^3 - 1$, является разностью кубов, так как $1 = 1^3$.

$a^3 - 1 = a^3 - 1^3$

Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x=a$ и $y=1$.

$a^3 - 1^3 = (a - 1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = (a - 1)(a^2 + a + 1)$

Полное разложение на множители:

$9a^2(a - 1)(a^2 + a + 1)$

Ответ: $9a^2(a - 1)(a^2 + a + 1)$

853. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $3x^3 + 3y^3;$

2) $5m^4 - 320mn^3;$

3) $6c^5 - 6c^8.$

1) Чтобы представить многочлен $3x^3 + 3y^3$ в виде произведения, сначала вынесем общий множитель 3 за скобки: $3x^3 + 3y^3 = 3(x^3 + y^3)$. Выражение в скобках $x^3 + y^3$ является суммой кубов. Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном случае $a = x$ и $b = y$, поэтому разложение будет таким: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Подставив это разложение в наше выражение, получаем окончательный результат: $3(x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Ответ: $3(x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

2) В многочлене $5m^4 - 320mn^3$ первым шагом вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем для $5m^4$ и $320mn^3$ является $5m$: $5m^4 - 320mn^3 = 5m(m^3 - 64n^3)$. Теперь рассмотрим выражение в скобках $m^3 - 64n^3$. Это разность кубов, так как $64n^3$ можно представить как $(4n)^3$. Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Здесь $a = m$ и $b = 4n$. Подставляем в формулу: $m^3 - (4n)^3 = (m - 4n)(m^2 + m \cdot 4n + (4n)^2) = (m - 4n)(m^2 + 4mn + 16n^2)$. Таким образом, полное разложение исходного многочлена на множители выглядит так: $5m(m - 4n)(m^2 + 4mn + 16n^2)$.
Ответ: $5m(m - 4n)(m^2 + 4mn + 16n^2)$.

3) Для разложения многочлена $6c^5 - 6c^8$ на множители вынесем за скобки общий множитель $6c^5$ (где $c^5$ — это переменная в наименьшей степени): $6c^5 - 6c^8 = 6c^5(1 - c^3)$. Выражение в скобках $1 - c^3$ является разностью кубов, так как 1 можно представить как $1^3$. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 1$ и $b = c$: $1^3 - c^3 = (1 - c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2) = (1 - c)(1 + c + c^2)$. Объединив все части, получаем итоговое произведение: $6c^5(1 - c)(1 + c + c^2)$.
Ответ: $6c^5(1 - c)(1 + c + c^2)$.

854. Разложите на множители:

1) $a^7 + ab^6$;

2) $x^8 - y^8$;

3) $c^6 - 1$.

1) $a^7 + ab^6$
Для разложения на множители данного выражения сначала вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a^7 + ab^6 = a(a^6 + b^6)$
Выражение в скобках, $a^6 + b^6$, можно представить как сумму кубов, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$:
$a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3$
Теперь применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. В нашем случае $x = a^2$ и $y = b^2$.
$(a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2 + b^2)((a^2)^2 - a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2) = (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$
Подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:
$a(a^6 + b^6) = a(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$
Дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.
Ответ: $a(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

2) $x^8 - y^8$
Это выражение представляет собой разность квадратов, так как $x^8 = (x^4)^2$ и $y^8 = (y^4)^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$
Первый множитель, $x^4 - y^4$, снова является разностью квадратов, так как $x^4 = (x^2)^2$ и $y^4 = (y^2)^2$. Разложим его:
$x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$
Множитель $x^2 - y^2$ также является разностью квадратов. Разложим и его:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
Теперь соберем все полученные множители вместе. Множитель $x^4+y^4$ (сумма квадратов) не раскладывается на множители с действительными целыми коэффициентами.
$x^8 - y^8 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$
Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$

3) $c^6 - 1$
Данное выражение можно разложить на множители, представив его как разность квадратов или как разность кубов. Рассмотрим разложение через разность квадратов.
Представим $c^6 - 1$ как $(c^3)^2 - 1^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(c^3)^2 - 1^2 = (c^3 - 1)(c^3 + 1)$
Теперь у нас есть два множителя: $c^3 - 1$ (разность кубов) и $c^3 + 1$ (сумма кубов).
Раскладываем разность кубов по формуле $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$:
$c^3 - 1 = c^3 - 1^3 = (c - 1)(c^2 + c \cdot 1 + 1^2) = (c - 1)(c^2 + c + 1)$
Раскладываем сумму кубов по формуле $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:
$c^3 + 1 = c^3 + 1^3 = (c + 1)(c^2 - c \cdot 1 + 1^2) = (c + 1)(c^2 - c + 1)$
Объединяем все множители:
$c^6 - 1 = (c - 1)(c^2 + c + 1)(c + 1)(c^2 - c + 1)$
Для удобства можно сгруппировать множители:
$(c - 1)(c + 1)(c^2 - c + 1)(c^2 + c + 1)$
Ответ: $(c - 1)(c + 1)(c^2 - c + 1)(c^2 + c + 1)$

855. Разложите на множители:

1) $c^6 + c^9$;

2) $m^9 - n^9$;

3) $a^8 - b^4$.

1) $c^6 + c^9$

Для разложения на множители выражения $c^6 + c^9$ сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель. Оба члена содержат переменную $c$. Наименьшая степень переменной $c$ в выражении равна 6, поэтому общим множителем является $c^6$.

Выносим $c^6$ за скобки:

$c^6 + c^9 = c^6 \cdot 1 + c^6 \cdot c^3 = c^6(1 + c^3)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $1 + c^3$. Это выражение является суммой кубов, так как $1 = 1^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a = 1$ и $b = c$. Подставляем эти значения в формулу:

$1^3 + c^3 = (1+c)(1^2 - 1 \cdot c + c^2) = (1+c)(1 - c + c^2)$

Теперь подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:

$c^6(1 + c^3) = c^6(1+c)(1 - c + c^2)$

Таким образом, мы полностью разложили выражение на множители.

Ответ: $c^6(1+c)(1 - c + c^2)$

2) $m^9 - n^9$

Выражение $m^9 - n^9$ представляет собой разность степеней. Мы можем представить его как разность кубов, так как показатели степени 9 делятся на 3.

Представим $m^9$ как $(m^3)^3$ и $n^9$ как $(n^3)^3$:

$m^9 - n^9 = (m^3)^3 - (n^3)^3$

Теперь применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = m^3$ и $b = n^3$. Подставляем в формулу:

$(m^3 - n^3)((m^3)^2 + m^3n^3 + (n^3)^2) = (m^3 - n^3)(m^6 + m^3n^3 + n^6)$

Теперь рассмотрим первый множитель $m^3 - n^3$. Это также разность кубов. Применим ту же формулу еще раз, где $a = m$ и $b = n$:

$m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)$

Второй множитель $m^6 + m^3n^3 + n^6$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Собираем все вместе:

$m^9 - n^9 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)(m^6 + m^3n^3 + n^6)$

Ответ: $(m-n)(m^2 + mn + n^2)(m^6 + m^3n^3 + n^6)$

3) $a^8 - b^4$

Выражение $a^8 - b^4$ является разностью квадратов. Мы можем представить его в следующем виде:

$a^8 - b^4 = (a^4)^2 - (b^2)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В данном случае $x = a^4$ и $y = b^2$. Подставляем в формулу:

$(a^4 - b^2)(a^4 + b^2)$

Теперь проверим, можно ли разложить полученные множители дальше.

Первый множитель $a^4 - b^2$ также является разностью квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$:

$a^4 - b^2 = (a^2)^2 - b^2$

Применяем формулу разности квадратов еще раз, где $x = a^2$ и $y = b$:

$(a^2 - b)(a^2 + b)$

Второй множитель $a^4 + b^2$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Объединяем все полученные множители:

$a^8 - b^4 = (a^2 - b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)$

Ответ: $(a^2 - b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)$