Страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

824. Докажите, что значение выражения:

1) $456^3 - 156^3$ делится нацело на 300;

2) $254^3 + 238^3$ делится нацело на 123;

3) $17^6 - 1$ делится нацело на 36.

1) Чтобы доказать, что выражение $456^3 - 156^3$ делится нацело на 300, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Применим эту формулу к нашему выражению, где $a=456$ и $b=156$:
$456^3 - 156^3 = (456 - 156)(456^2 + 456 \cdot 156 + 156^2)$.
Вычислим значение первого множителя:
$456 - 156 = 300$.
Таким образом, выражение можно переписать в виде:
$300 \cdot (456^2 + 456 \cdot 156 + 156^2)$.
Поскольку один из множителей равен 300, а второй множитель является целым числом (так как это сумма и произведение целых чисел), то все произведение делится нацело на 300.
Ответ: что и требовалось доказать.

2) Для доказательства того, что выражение $254^3 + 238^3$ делится нацело на 123, используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Подставим в формулу $a=254$ и $b=238$:
$254^3 + 238^3 = (254 + 238)(254^2 - 254 \cdot 238 + 238^2)$.
Найдем значение первого множителя:
$254 + 238 = 492$.
Проверим, делится ли 492 на 123:
$492 \div 123 = 4$.
Значит, $492 = 123 \cdot 4$.
Теперь мы можем переписать исходное выражение:
$(123 \cdot 4) \cdot (254^2 - 254 \cdot 238 + 238^2) = 123 \cdot [4 \cdot (254^2 - 254 \cdot 238 + 238^2)]$.
В полученном произведении один из множителей равен 123, а второй множитель является целым числом. Следовательно, все выражение делится нацело на 123.
Ответ: что и требовалось доказать.

3) Чтобы доказать, что выражение $17^6 - 1$ делится нацело на 36, представим его в виде разности кубов.
$17^6 - 1 = (17^2)^3 - 1^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=17^2$ и $b=1$:
$(17^2)^3 - 1^3 = (17^2 - 1)((17^2)^2 + 17^2 \cdot 1 + 1^2) = (17^2-1)(17^4+17^2+1)$.
Рассмотрим первый множитель $17^2 - 1$. Его можно разложить по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$17^2 - 1 = (17-1)(17+1) = 16 \cdot 18$.
Нам нужно доказать делимость на 36. Представим $36$ как $4 \cdot 9$.
В произведении $16 \cdot 18$ множитель 16 делится на 4 ($16=4 \cdot 4$), а множитель 18 делится на 9 ($18=2 \cdot 9$).
Следовательно, произведение $16 \cdot 18$ делится на $4 \cdot 9 = 36$. Действительно, $16 \cdot 18 = 288 = 36 \cdot 8$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как:
$(16 \cdot 18) \cdot (17^4+17^2+1) = 36 \cdot 8 \cdot (17^4+17^2+1)$.
Так как один из множителей равен 36, а остальные множители - целые числа, то все выражение делится нацело на 36.
Ответ: что и требовалось доказать.

825. Докажите, что значение выражения:

1) $341^3 + 109^3$ делится нацело на 90;

2) $2^{15} + 3^3$ делится нацело на 35.

1) Для доказательства того, что значение выражения $341^3 + 109^3$ делится нацело на 90, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу, где $a = 341$ и $b = 109$:

$341^3 + 109^3 = (341 + 109)(341^2 - 341 \cdot 109 + 109^2)$.

Вычислим значение первого множителя, который представляет собой сумму в первых скобках:

$341 + 109 = 450$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$450 \cdot (341^2 - 341 \cdot 109 + 109^2)$.

Поскольку один из множителей этого произведения, число 450, делится нацело на 90 ($450 : 90 = 5$), то и всё произведение делится нацело на 90. Второй множитель $(341^2 - 341 \cdot 109 + 109^2)$ является целым числом, так как это результат операций над целыми числами.

Ответ: доказано, что значение выражения $341^3 + 109^3$ делится нацело на 90.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $2^{15} + 3^3$ делится нацело на 35, преобразуем его так, чтобы можно было применить формулу суммы кубов.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, представим слагаемое $2^{15}$ в виде куба некоторого числа:

$2^{15} = 2^{5 \cdot 3} = (2^5)^3$.

Вычислим значение основания $2^5$:

$2^5 = 32$.

Теперь исходное выражение можно записать как сумму кубов:

$(2^5)^3 + 3^3 = 32^3 + 3^3$.

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 32$ и $b = 3$:

$32^3 + 3^3 = (32 + 3)(32^2 - 32 \cdot 3 + 3^2)$.

Вычислим значение первого множителя:

$32 + 3 = 35$.

Таким образом, выражение равно произведению:

$35 \cdot (32^2 - 32 \cdot 3 + 3^2)$.

Поскольку один из множителей этого произведения равен 35, то и всё произведение делится нацело на 35.

Ответ: доказано, что значение выражения $2^{15} + 3^3$ делится нацело на 35.

826. Укажите наименьшее натуральное значение $n$ такое, чтобы выражение $x^{2n} - y^{3n}$ можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите полученный многочлен на множители по этим формулам.

Чтобы выражение $x^{2n} - y^{3n}$ можно было разложить на множители по формуле разности квадратов ($a^2 - b^2$), необходимо, чтобы показатели степеней $2n$ и $3n$ были четными числами.

• Показатель $2n$ всегда является четным для любого натурального $n$.
• Чтобы показатель $3n$ был четным, необходимо, чтобы $n$ было четным числом, то есть $n$ должно быть кратно 2.

Чтобы это же выражение можно было разложить по формуле разности кубов ($a^3 - b^3$), необходимо, чтобы показатели степеней $2n$ и $3n$ были кратны 3.

• Чтобы показатель $2n$ был кратен 3, необходимо, чтобы $n$ было кратно 3 (так как 2 не делится на 3).
• Показатель $3n$ всегда является кратным 3 для любого натурального $n$.

Таким образом, $n$ должно быть одновременно кратно 2 и 3. Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию, — это наименьшее общее кратное чисел 2 и 3, то есть НОК(2, 3) = 6.

При $n=6$ мы получаем многочлен $x^{2 \cdot 6} - y^{3 \cdot 6} = x^{12} - y^{18}$.

Ответ: Наименьшее натуральное значение $n=6$.

Теперь разложим полученный многочлен $x^{12} - y^{18}$ на множители по указанным формулам.

Разложение по формуле разности квадратов

Представим выражение в виде разности квадратов: $x^{12} - y^{18} = (x^6)^2 - (y^9)^2$.

Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^6$ и $b = y^9$:

$(x^6)^2 - (y^9)^2 = (x^6 - y^9)(x^6 + y^9)$.

Ответ: $x^{12} - y^{18} = (x^6 - y^9)(x^6 + y^9)$.

Разложение по формуле разности кубов

Представим выражение в виде разности кубов: $x^{12} - y^{18} = (x^4)^3 - (y^6)^3$.

Применим формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = x^4$ и $b = y^6$:

$(x^4)^3 - (y^6)^3 = (x^4 - y^6)((x^4)^2 + x^4y^6 + (y^6)^2) = (x^4 - y^6)(x^8 + x^4y^6 + y^{12})$.

Ответ: $x^{12} - y^{18} = (x^4 - y^6)(x^8 + x^4y^6 + y^{12})$.

827. Придумайте многочлен, который можно разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите придуманный многочлен на множители по этим формулам.

Чтобы многочлен можно было разложить на множители и как разность квадратов, и как разность кубов, он должен представлять собой разность двух выражений, каждое из которых является одновременно и полным квадратом, и полным кубом.

Пусть наш многочлен имеет вид $A - B$.

Для разложения по формуле разности квадратов ($a^2 - b^2$) необходимо, чтобы $A = a^2$ и $B = b^2$.

Для разложения по формуле разности кубов ($c^3 - d^3$) необходимо, чтобы $A = c^3$ и $B = d^3$.

Следовательно, чтобы одночлен был одновременно квадратом и кубом, его показатель степени должен быть кратен и 2, и 3. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6.

Таким образом, мы можем выбрать многочлен, члены которого имеют степень 6, например, $x^6 - y^6$.

Разложение по формуле разности квадратов

Представим многочлен $x^6 - y^6$ в виде разности квадратов. Для этого воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3$ и $b = y^3$:

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$

Ответ: $x^6 - y^6 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$.

Разложение по формуле разности кубов

Представим тот же многочлен $x^6 - y^6$ в виде разности кубов:

$x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3$

Применим формулу разности кубов $c^3 - d^3 = (c-d)(c^2 + cd + d^2)$, где $c = x^2$ и $d = y^2$:

$(x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Ответ: $x^6 - y^6 = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$.

828. Можно ли утверждать, что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число, то на это число делится нацело:

1) разность их квадратов;

2) сумма их квадратов;

3) сумма их кубов?

Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа, и пусть их сумма делится нацело на натуральное число $n$. Это означает, что $(a+b) \vdots n$, или, другими словами, существует такое натуральное число $k$, что $a+b = kn$. Рассмотрим каждое утверждение по отдельности.

Рассмотрим выражение для разности квадратов: $a^2 - b^2$. Используем формулу сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.По условию задачи, множитель $(a+b)$ делится на $n$. Это значит, что $a+b = kn$ для некоторого целого числа $k$.Подставим это в наше выражение: $a^2 - b^2 = (a-b)(kn) = n \cdot (k(a-b))$.Так как $a$, $b$ и $k$ — целые числа, то и выражение $k(a-b)$ является целым числом.Следовательно, $a^2 - b^2$ является произведением числа $n$ и целого числа, а значит, $a^2 - b^2$ делится нацело на $n$.

Ответ: да, можно утверждать.

Чтобы проверить это утверждение, попробуем найти контрпример. Пусть $a=1$, $b=3$. Их сумма $a+b = 1+3=4$. Выберем в качестве делителя $n=4$. Условие, что сумма чисел $(a+b)$ делится на $n$, выполняется, так как $4$ делится на $4$.Теперь найдем сумму их квадратов: $a^2 + b^2 = 1^2 + 3^2 = 1+9=10$.Число $10$ не делится нацело на $4$, поскольку $10 = 4 \cdot 2 + 2$.Так как мы нашли случай, когда условие выполняется, а следствие — нет, то данное утверждение в общем виде неверно.

Ответ: нет, нельзя утверждать.

Рассмотрим выражение для суммы кубов: $a^3 + b^3$. Используем формулу сокращенного умножения: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.По условию задачи, множитель $(a+b)$ делится на $n$. Это значит, что $a+b = kn$ для некоторого целого числа $k$.Подставим это в наше выражение: $a^3 + b^3 = (kn)(a^2-ab+b^2) = n \cdot (k(a^2-ab+b^2))$.Так как $a$, $b$ и $k$ — целые числа, то и выражение $k(a^2-ab+b^2)$ является целым числом.Следовательно, $a^3 + b^3$ является произведением числа $n$ и целого числа, а значит, $a^3 + b^3$ делится нацело на $n$.

Ответ: да, можно утверждать.

829. Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.

Для доказательства этого утверждения представим два последовательных нечётных натуральных числа в общем виде. Любое нечётное число можно записать как $2n-1$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$). Например, если $n=1$, число равно 1; если $n=2$, число равно 3; и так далее.

Пусть первое нечётное число равно $2n-1$. Тогда следующее за ним нечётное число будет на 2 больше, то есть $(2n-1)+2 = 2n+1$.

Теперь найдём сумму кубов этих двух чисел:

$S = (2n-1)^3 + (2n+1)^3$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулами сокращённого умножения для куба суммы и куба разности:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Применим эти формулы к нашему выражению, где $a=2n$ и $b=1$:

$(2n-1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$

$(2n+1)^3 = (2n)^3 + 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 + 1^3 = 8n^3 + 12n^2 + 6n + 1$

Теперь сложим полученные выражения:

$S = (8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) + (8n^3 + 12n^2 + 6n + 1)$

Упростим сумму, приведя подобные слагаемые:

$S = 8n^3 + 8n^3 - 12n^2 + 12n^2 + 6n + 6n - 1 + 1 = 16n^3 + 12n$

Нам нужно доказать, что это выражение делится нацело на 4. Для этого вынесем общий множитель 4 за скобки:

$S = 4(4n^3 + 3n)$

Поскольку $n$ является натуральным числом, то и $n^3$ является натуральным числом. Следовательно, выражение в скобках $4n^3 + 3n$ всегда будет целым числом. Так как вся сумма $S$ может быть представлена в виде произведения числа 4 на целое число, это означает, что она делится на 4 без остатка.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел представляется в виде $4(4n^3 + 3n)$, где $n$ — натуральное число, и, следовательно, всегда делится нацело на 4.

830. Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.

Пусть даны два последовательных натуральных числа, ни одно из которых не кратно 3.

Любое натуральное число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. Если число кратно 3, то остаток равен 0. Поскольку нам даны два последовательных числа, и ни одно из них не делится на 3, то их остатки от деления на 3 не могут быть равны 0. Для двух последовательных чисел возможны следующие пары остатков: (0, 1), (1, 2) и (2, 0). Условию задачи удовлетворяет только пара (1, 2).

Таким образом, эти два числа можно представить в виде $3k+1$ и $3k+2$ для некоторого целого неотрицательного числа $k$ (например, при $k=0$ это числа 1 и 2).

Обозначим меньшее из чисел как $n = 3k+1$. Тогда следующее число будет $n+1 = 3k+2$.

Нам нужно доказать, что сумма их кубов, $n^3 + (n+1)^3$, делится на 9.

Рассмотрим выражение для суммы кубов $S = n^3 + (n+1)^3$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и преобразуем выражение:

$S = (n + (n+1)) \cdot (n^2 - n(n+1) + (n+1)^2)$

Сначала упростим второй множитель в скобках:

$n^2 - n(n+1) + (n+1)^2 = n^2 - (n^2+n) + (n^2+2n+1) = n^2 - n^2 - n + n^2 + 2n + 1 = n^2 + n + 1$

Таким образом, выражение для суммы кубов принимает вид:

$S = (2n+1)(n^2+n+1)$

Теперь подставим $n = 3k+1$ в каждый из множителей.

Первый множитель:

$2n+1 = 2(3k+1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k+1)$

Как видим, первый множитель делится на 3.

Второй множитель:

$n^2+n+1 = (3k+1)^2 + (3k+1) + 1 = (9k^2 + 6k + 1) + 3k + 1 + 1 = 9k^2 + 9k + 3 = 3(3k^2 + 3k + 1)$

Второй множитель также делится на 3.

Теперь перемножим полученные выражения для множителей, чтобы найти S:

$S = [3(2k+1)] \cdot [3(3k^2 + 3k + 1)] = 9 \cdot (2k+1)(3k^2 + 3k + 1)$

Поскольку $k$ является целым неотрицательным числом, то выражение $(2k+1)(3k^2 + 3k + 1)$ также является целым числом. Следовательно, вся сумма $S$ представляет собой произведение числа 9 и целого числа, а значит, она делится нацело на 9.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, всегда делится на 9, так как ее можно представить в виде произведения 9 на целое число.

831. Известно, что числа $x$ и $y$ таковы, что $x^2 + y^2 = 1$. Найдите значение выражения $x^6 + 3x^2y^2 + y^6$.

Нам дано условие $x^2 + y^2 = 1$. Требуется найти значение выражения $x^6 + 3x^2y^2 + y^6$.

Для решения задачи возведем обе части данного равенства $x^2 + y^2 = 1$ в третью степень:
$(x^2 + y^2)^3 = 1^3$

Раскроем левую часть, используя формулу сокращенного умножения для куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. В нашем случае $a = x^2$ и $b = y^2$:
$(x^2)^3 + 3(x^2)^2y^2 + 3x^2(y^2)^2 + (y^2)^3 = 1$
$x^6 + 3x^4y^2 + 3x^2y^4 + y^6 = 1$

Сгруппируем средние члены и вынесем за скобки общий множитель $3x^2y^2$:
$x^6 + y^6 + 3x^2y^2(x^2 + y^2) = 1$

Теперь воспользуемся исходным условием $x^2 + y^2 = 1$ и подставим его в полученное уравнение:
$x^6 + y^6 + 3x^2y^2(1) = 1$

После упрощения получаем:
$x^6 + 3x^2y^2 + y^6 = 1$

Таким образом, значение искомого выражения равно 1.

Ответ: 1

832. Известно, что числа x и y таковы, что $x^3 - y^2 = 2$. Найдите значение выражения $x^9 - 6x^3y^2 - y^6$.

По условию задачи нам дано равенство $x^3 - y^2 = 2$. Необходимо найти значение выражения $x^9 - 6x^3y^2 - y^6$.

Для решения этой задачи преобразуем искомое выражение, используя известные алгебраические формулы.

Сначала сгруппируем члены выражения следующим образом:

$x^9 - 6x^3y^2 - y^6 = (x^9 - y^6) - 6x^3y^2$

Заметим, что $x^9 = (x^3)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$. Таким образом, выражение в скобках представляет собой разность кубов.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Применим эту формулу к $(x^3)^3 - (y^2)^3$, где $a=x^3$ и $b=y^2$:

$(x^3)^3 - (y^2)^3 = (x^3 - y^2)((x^3)^2 + x^3y^2 + (y^2)^2) = (x^3 - y^2)(x^6 + x^3y^2 + y^4)$

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в исходное:

$(x^3 - y^2)(x^6 + x^3y^2 + y^4) - 6x^3y^2$

Из условия задачи мы знаем, что $x^3 - y^2 = 2$. Подставим это значение в наше выражение:

$2 \cdot (x^6 + x^3y^2 + y^4) - 6x^3y^2$

Раскроем скобки и упростим:

$2x^6 + 2x^3y^2 + 2y^4 - 6x^3y^2 = 2x^6 - 4x^3y^2 + 2y^4$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(x^6 - 2x^3y^2 + y^4)$

Выражение в скобках является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x^3$ и $b = y^2$, поэтому:

$x^6 - 2x^3y^2 + y^4 = (x^3)^2 - 2(x^3)(y^2) + (y^2)^2 = (x^3 - y^2)^2$

Подставим это обратно в наше выражение:

$2(x^3 - y^2)^2$

И снова используем условие $x^3 - y^2 = 2$:

$2 \cdot (2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$

Ответ: 8

833. Докажите, что если $2a - b = 1$, то $8a^3 - b^3 = 6ab + 1$.

Для доказательства утверждения необходимо, исходя из условия $2a - b = 1$, прийти к равенству $8a^3 - b^3 = 6ab + 1$.

Возведем обе части исходного равенства $2a - b = 1$ в третью степень (в куб):

$(2a - b)^3 = 1^3$

Для раскрытия скобок в левой части применим формулу сокращенного умножения для куба разности. Удобно использовать её в следующем виде: $(x-y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x-y)$.

В нашем случае $x = 2a$ и $y = b$. Применим формулу:

$(2a)^3 - b^3 - 3 \cdot (2a) \cdot b \cdot (2a - b) = 1$

Выполним упрощение выражения:

$8a^3 - b^3 - 6ab(2a - b) = 1$

Теперь воспользуемся первоначальным условием, согласно которому выражение в скобках равно единице: $2a - b = 1$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$8a^3 - b^3 - 6ab \cdot (1) = 1$

В результате получаем:

$8a^3 - b^3 - 6ab = 1$

Осталось перенести член $-6ab$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$8a^3 - b^3 = 6ab + 1$

Таким образом, мы доказали, что из равенства $2a - b = 1$ следует равенство $8a^3 - b^3 = 6ab + 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

834. Докажите, что если $a + 3b = 2$, то $a^3 + 27b^3 = 8 - 18ab$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся исходным равенством $a + 3b = 2$. Возведем обе части этого равенства в третью степень (в куб). Для этого нам понадобится формула куба суммы двух выражений: $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$.

Возводим в куб исходное равенство:

$(a + 3b)^3 = 2^3$

Теперь применим формулу куба суммы к левой части, считая, что $x=a$ и $y=3b$:

$a^3 + (3b)^3 + 3 \cdot a \cdot (3b) \cdot (a+3b) = 8$

Упростим полученное выражение:

$a^3 + 27b^3 + 9ab(a+3b) = 8$

Согласно условию задачи, мы знаем, что $a+3b=2$. Подставим это значение в наше равенство:

$a^3 + 27b^3 + 9ab \cdot 2 = 8$

Выполним умножение:

$a^3 + 27b^3 + 18ab = 8$

Чтобы получить требуемое тождество, перенесем слагаемое $18ab$ из левой части уравнения в правую, изменив при этом его знак на противоположный:

$a^3 + 27b^3 = 8 - 18ab$

Таким образом, мы доказали, что если $a + 3b = 2$, то $a^3 + 27b^3 = 8 - 18ab$.

Ответ: что и требовалось доказать.

835. Заработная плата рабочего пропорциональна количеству отработанных часов. В первый месяц он работал 210 ч и получил 31 500 р. Сколько часов он работал во втором месяце, если получил за работу 34 500 р.?

Поскольку заработная плата рабочего пропорциональна количеству отработанных часов, мы можем найти стоимость одного часа работы, которая является постоянной величиной. Для этого воспользуемся данными за первый месяц.

1. Найдём стоимость одного часа работы.
Разделим заработную плату за первый месяц на количество отработанных в этом месяце часов:

$31500 \text{ р.} \div 210 \text{ ч} = 150 \text{ р./ч}$

Таким образом, стоимость одного часа работы составляет 150 рублей.

2. Найдём, сколько часов рабочий отработал во втором месяце.
Зная стоимость часа и заработную плату за второй месяц, мы можем вычислить количество отработанных часов. Для этого разделим зарплату за второй месяц на стоимость одного часа работы:

$34500 \text{ р.} \div 150 \text{ р./ч} = 230 \text{ ч}$

Это же решение можно получить, составив пропорцию. Пусть $x$ – искомое количество часов во втором месяце. Тогда:

$\frac{210 \text{ часов}}{31500 \text{ рублей}} = \frac{x \text{ часов}}{34500 \text{ рублей}}$

Отсюда выразим $x$:

$x = \frac{210 \times 34500}{31500} = \frac{210 \times 345}{315} = 230 \text{ часов}$

Ответ: 230 часов.

836. Какая последняя цифра значения выражения $3^{16} + 7^{16}$?

Чтобы найти последнюю цифру значения выражения, нам необходимо определить последнюю цифру каждого из слагаемых ($3^{16}$ и $7^{16}$) и затем найти последнюю цифру их суммы.

Рассмотрим, как изменяется последняя цифра при возведении числа 3 в степень:

$3^1$ оканчивается на 3

$3^2$ оканчивается на 9

$3^3 = 27$ оканчивается на 7

$3^4 = 81$ оканчивается на 1

$3^5 = 243$ оканчивается на 3

Видно, что последние цифры степеней числа 3 циклически повторяются с периодом 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы найти последнюю цифру числа $3^{16}$, нужно определить, на каком месте в этом цикле она находится. Для этого разделим показатель степени 16 на длину цикла 4:

$16 : 4 = 4$ с остатком 0.

Остаток 0 говорит о том, что последняя цифра будет такой же, как у последнего (четвертого) элемента цикла, то есть 1. Таким образом, число $3^{16}$ оканчивается на 1.

Проделаем аналогичную операцию для числа $7^{16}$. Рассмотрим последние цифры его степеней:

$7^1$ оканчивается на 7

$7^2 = 49$ оканчивается на 9

$7^3 = 343$ оканчивается на 3

$7^4 = 2401$ оканчивается на 1

$7^5 = 16807$ оканчивается на 7

Здесь последние цифры также повторяются с периодом 4: (7, 9, 3, 1). Разделим показатель степени 16 на длину цикла 4:

$16 : 4 = 4$ с остатком 0.

Как и в предыдущем случае, остаток 0 означает, что последняя цифра $7^{16}$ совпадает с последней цифрой четвертого элемента цикла, то есть с 1. Таким образом, число $7^{16}$ оканчивается на 1.

Теперь, чтобы найти последнюю цифру выражения $3^{16} + 7^{16}$, достаточно сложить последние цифры каждого слагаемого:

Последняя цифра $3^{16}$ это 1.

Последняя цифра $7^{16}$ это 1.

Последняя цифра их суммы будет такой же, как последняя цифра суммы $1 + 1 = 2$.

Следовательно, последняя цифра значения выражения $3^{16} + 7^{16}$ равна 2.

Ответ: 2