Номер 831, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 831, страница 140.

Условие.

831. Известно, что числа $x$ и $y$ таковы, что $x^2 + y^2 = 1$. Найдите значение выражения $x^6 + 3x^2y^2 + y^6$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Нам дано условие $x^2 + y^2 = 1$. Требуется найти значение выражения $x^6 + 3x^2y^2 + y^6$.

Для решения задачи возведем обе части данного равенства $x^2 + y^2 = 1$ в третью степень:
$(x^2 + y^2)^3 = 1^3$

Раскроем левую часть, используя формулу сокращенного умножения для куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. В нашем случае $a = x^2$ и $b = y^2$:
$(x^2)^3 + 3(x^2)^2y^2 + 3x^2(y^2)^2 + (y^2)^3 = 1$
$x^6 + 3x^4y^2 + 3x^2y^4 + y^6 = 1$

Сгруппируем средние члены и вынесем за скобки общий множитель $3x^2y^2$:
$x^6 + y^6 + 3x^2y^2(x^2 + y^2) = 1$

Теперь воспользуемся исходным условием $x^2 + y^2 = 1$ и подставим его в полученное уравнение:
$x^6 + y^6 + 3x^2y^2(1) = 1$

После упрощения получаем:
$x^6 + 3x^2y^2 + y^6 = 1$

Таким образом, значение искомого выражения равно 1.

Ответ: 1