Номер 826, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 826, страница 140.

Условие.

826. Укажите наименьшее натуральное значение $n$ такое, чтобы выражение $x^{2n} - y^{3n}$ можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите полученный многочлен на множители по этим формулам.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы выражение $x^{2n} - y^{3n}$ можно было разложить на множители по формуле разности квадратов ($a^2 - b^2$), необходимо, чтобы показатели степеней $2n$ и $3n$ были четными числами.

• Показатель $2n$ всегда является четным для любого натурального $n$.
• Чтобы показатель $3n$ был четным, необходимо, чтобы $n$ было четным числом, то есть $n$ должно быть кратно 2.

Чтобы это же выражение можно было разложить по формуле разности кубов ($a^3 - b^3$), необходимо, чтобы показатели степеней $2n$ и $3n$ были кратны 3.

• Чтобы показатель $2n$ был кратен 3, необходимо, чтобы $n$ было кратно 3 (так как 2 не делится на 3).
• Показатель $3n$ всегда является кратным 3 для любого натурального $n$.

Таким образом, $n$ должно быть одновременно кратно 2 и 3. Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию, — это наименьшее общее кратное чисел 2 и 3, то есть НОК(2, 3) = 6.

При $n=6$ мы получаем многочлен $x^{2 \cdot 6} - y^{3 \cdot 6} = x^{12} - y^{18}$.

Ответ: Наименьшее натуральное значение $n=6$.

---

Теперь разложим полученный многочлен $x^{12} - y^{18}$ на множители по указанным формулам.

Разложение по формуле разности квадратов

Представим выражение в виде разности квадратов: $x^{12} - y^{18} = (x^6)^2 - (y^9)^2$.

Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^6$ и $b = y^9$:

$(x^6)^2 - (y^9)^2 = (x^6 - y^9)(x^6 + y^9)$.

Ответ: $x^{12} - y^{18} = (x^6 - y^9)(x^6 + y^9)$.

Разложение по формуле разности кубов

Представим выражение в виде разности кубов: $x^{12} - y^{18} = (x^4)^3 - (y^6)^3$.

Применим формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = x^4$ и $b = y^6$:

$(x^4)^3 - (y^6)^3 = (x^4 - y^6)((x^4)^2 + x^4y^6 + (y^6)^2) = (x^4 - y^6)(x^8 + x^4y^6 + y^{12})$.

Ответ: $x^{12} - y^{18} = (x^4 - y^6)(x^8 + x^4y^6 + y^{12})$.