Номер 829, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 829, страница 140.

Условие.

829. Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства этого утверждения представим два последовательных нечётных натуральных числа в общем виде. Любое нечётное число можно записать как $2n-1$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$). Например, если $n=1$, число равно 1; если $n=2$, число равно 3; и так далее.

Пусть первое нечётное число равно $2n-1$. Тогда следующее за ним нечётное число будет на 2 больше, то есть $(2n-1)+2 = 2n+1$.

Теперь найдём сумму кубов этих двух чисел:

$S = (2n-1)^3 + (2n+1)^3$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулами сокращённого умножения для куба суммы и куба разности:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Применим эти формулы к нашему выражению, где $a=2n$ и $b=1$:

$(2n-1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$

$(2n+1)^3 = (2n)^3 + 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 + 1^3 = 8n^3 + 12n^2 + 6n + 1$

Теперь сложим полученные выражения:

$S = (8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) + (8n^3 + 12n^2 + 6n + 1)$

Упростим сумму, приведя подобные слагаемые:

$S = 8n^3 + 8n^3 - 12n^2 + 12n^2 + 6n + 6n - 1 + 1 = 16n^3 + 12n$

Нам нужно доказать, что это выражение делится нацело на 4. Для этого вынесем общий множитель 4 за скобки:

$S = 4(4n^3 + 3n)$

Поскольку $n$ является натуральным числом, то и $n^3$ является натуральным числом. Следовательно, выражение в скобках $4n^3 + 3n$ всегда будет целым числом. Так как вся сумма $S$ может быть представлена в виде произведения числа 4 на целое число, это означает, что она делится на 4 без остатка.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел представляется в виде $4(4n^3 + 3n)$, где $n$ — натуральное число, и, следовательно, всегда делится нацело на 4.