Номер 823, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 823, страница 139.

Условие.

823. Решите уравнение:

1) $(7-2x)(49+14x+4x^2)+2x(2x-5)(2x+5)=43;$

2) $100(0.2x+1)(0.04x^2-0.2x+1)=5x(0.16x^2-4).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(7 - 2x)(49 + 14x + 4x^2) + 2x(2x - 5)(2x + 5) = 43$
Упростим левую часть уравнения, используя формулы сокращенного умножения.
Первое слагаемое $(7 - 2x)(49 + 14x + 4x^2)$ представляет собой формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В нашем случае $a = 7$ и $b = 2x$.
Следовательно, $(7 - 2x)(49 + 14x + 4x^2) = 7^3 - (2x)^3 = 343 - 8x^3$.
Второе слагаемое $2x(2x - 5)(2x + 5)$ содержит произведение вида $(a - b)(a + b)$, что является формулой разности квадратов: $a^2 - b^2$.
Здесь $a = 2x$ и $b = 5$.
Тогда $(2x - 5)(2x + 5) = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25$.
Всё второе слагаемое равно $2x(4x^2 - 25) = 8x^3 - 50x$.
Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:
$(343 - 8x^3) + (8x^3 - 50x) = 43$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$343 - 8x^3 + 8x^3 - 50x = 43$
$343 - 50x = 43$
Перенесем 343 в правую часть уравнения:
$-50x = 43 - 343$
$-50x = -300$
Найдем $x$:
$x = \frac{-300}{-50}$
$x = 6$
Ответ: $6$.

2) $100(0.2x + 1)(0.04x^2 - 0.2x + 1) = 5x(0.16x^2 - 4)$
Рассмотрим левую часть уравнения. Выражение $(0.2x + 1)(0.04x^2 - 0.2x + 1)$ является формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В нашем случае $a = 0.2x$ и $b = 1$.
Следовательно, $(0.2x + 1)(0.04x^2 - 0.2x + 1) = (0.2x)^3 + 1^3 = 0.008x^3 + 1$.
Тогда вся левая часть уравнения равна:
$100(0.008x^3 + 1) = 0.8x^3 + 100$.
Теперь упростим правую часть, раскрыв скобки:
$5x(0.16x^2 - 4) = 5x \cdot 0.16x^2 - 5x \cdot 4 = 0.8x^3 - 20x$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$0.8x^3 + 100 = 0.8x^3 - 20x$
Вычтем $0.8x^3$ из обеих частей уравнения:
$100 = -20x$
Найдем $x$:
$x = \frac{100}{-20}$
$x = -5$
Ответ: $-5$.