Номер 822, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 822, страница 139.

Условие.

822. Решите уравнение:

1) $(3x-1)(9x^2+3x+1)-9x(3x^2-4)=17;$

2) $(x+4)(x^2-4x+16)-x(x-7)(x+7)=15;$

3) $(x+6)(x^2-6x+36)-x(x-9)^2=4x(4,5x-13,5).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(3x-1)(9x^2+3x+1) - 9x(3x^2-4) = 17$
Для упрощения левой части уравнения используем формулы сокращенного умножения.
Первое слагаемое $(3x-1)(9x^2+3x+1)$ является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$. В нашем случае $a=3x$ и $b=1$.
Получаем: $(3x)^3 - 1^3 = 27x^3 - 1$.
Теперь раскроем скобки во втором слагаемом:
$-9x(3x^2-4) = -9x \cdot 3x^2 - 9x \cdot (-4) = -27x^3 + 36x$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(27x^3 - 1) + (-27x^3 + 36x) = 17$
$27x^3 - 1 - 27x^3 + 36x = 17$
Приведем подобные члены. $27x^3$ и $-27x^3$ взаимно уничтожаются.
$36x - 1 = 17$
Перенесем $-1$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$36x = 17 + 1$
$36x = 18$
Найдем $x$:
$x = \frac{18}{36}$
$x = \frac{1}{2} = 0.5$
Ответ: $0.5$.

2) $(x+4)(x^2-4x+16) - x(x-7)(x+7) = 15$
Первое слагаемое $(x+4)(x^2-4x+16)$ является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. В нашем случае $a=x$ и $b=4$.
Получаем: $x^3 + 4^3 = x^3 + 64$.
Во втором слагаемом выражение $(x-7)(x+7)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
Получаем: $x(x-7)(x+7) = x(x^2 - 7^2) = x(x^2 - 49) = x^3 - 49x$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(x^3 + 64) - (x^3 - 49x) = 15$
Раскроем скобки:
$x^3 + 64 - x^3 + 49x = 15$
Приведем подобные члены. $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются.
$64 + 49x = 15$
Перенесем $64$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$49x = 15 - 64$
$49x = -49$
Найдем $x$:
$x = \frac{-49}{49}$
$x = -1$
Ответ: $-1$.

3) $(x+6)(x^2-6x+36) - x(x-9)^2 = 4x(4.5x-13.5)$
Первое слагаемое в левой части $(x+6)(x^2-6x+36)$ является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. Здесь $a=x$ и $b=6$.
Получаем: $x^3 + 6^3 = x^3 + 216$.
Раскроем второе слагаемое, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$-x(x-9)^2 = -x(x^2 - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2) = -x(x^2 - 18x + 81) = -x^3 + 18x^2 - 81x$.
Теперь раскроем скобки в правой части уравнения:
$4x(4.5x-13.5) = 4x \cdot 4.5x - 4x \cdot 13.5 = 18x^2 - 54x$.
Подставим все упрощенные части в исходное уравнение:
$(x^3 + 216) + (-x^3 + 18x^2 - 81x) = 18x^2 - 54x$
Упростим левую часть, раскрыв скобки и приведя подобные члены:
$x^3 + 216 - x^3 + 18x^2 - 81x = 18x^2 - 54x$
$18x^2 - 81x + 216 = 18x^2 - 54x$
Вычтем $18x^2$ из обеих частей уравнения:
$-81x + 216 = -54x$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа оставим в левой:
$216 = 81x - 54x$
$216 = 27x$
Найдем $x$:
$x = \frac{216}{27}$
$x = 8$
Ответ: $8$.