Номер 827, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 827, страница 140.

Условие.

827. Придумайте многочлен, который можно разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите придуманный многочлен на множители по этим формулам.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы многочлен можно было разложить на множители и как разность квадратов, и как разность кубов, он должен представлять собой разность двух выражений, каждое из которых является одновременно и полным квадратом, и полным кубом.

Пусть наш многочлен имеет вид $A - B$.

Для разложения по формуле разности квадратов ($a^2 - b^2$) необходимо, чтобы $A = a^2$ и $B = b^2$.

Для разложения по формуле разности кубов ($c^3 - d^3$) необходимо, чтобы $A = c^3$ и $B = d^3$.

Следовательно, чтобы одночлен был одновременно квадратом и кубом, его показатель степени должен быть кратен и 2, и 3. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6.

Таким образом, мы можем выбрать многочлен, члены которого имеют степень 6, например, $x^6 - y^6$.

Разложение по формуле разности квадратов

Представим многочлен $x^6 - y^6$ в виде разности квадратов. Для этого воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3$ и $b = y^3$:

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$

Ответ: $x^6 - y^6 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$.

Разложение по формуле разности кубов

Представим тот же многочлен $x^6 - y^6$ в виде разности кубов:

$x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3$

Применим формулу разности кубов $c^3 - d^3 = (c-d)(c^2 + cd + d^2)$, где $c = x^2$ и $d = y^2$:

$(x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Ответ: $x^6 - y^6 = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$.