Номер 832, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 832, страница 140.

Условие.

832. Известно, что числа x и y таковы, что $x^3 - y^2 = 2$. Найдите значение выражения $x^9 - 6x^3y^2 - y^6$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По условию задачи нам дано равенство $x^3 - y^2 = 2$. Необходимо найти значение выражения $x^9 - 6x^3y^2 - y^6$.

Для решения этой задачи преобразуем искомое выражение, используя известные алгебраические формулы.

Сначала сгруппируем члены выражения следующим образом:

$x^9 - 6x^3y^2 - y^6 = (x^9 - y^6) - 6x^3y^2$

Заметим, что $x^9 = (x^3)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$. Таким образом, выражение в скобках представляет собой разность кубов.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Применим эту формулу к $(x^3)^3 - (y^2)^3$, где $a=x^3$ и $b=y^2$:

$(x^3)^3 - (y^2)^3 = (x^3 - y^2)((x^3)^2 + x^3y^2 + (y^2)^2) = (x^3 - y^2)(x^6 + x^3y^2 + y^4)$

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в исходное:

$(x^3 - y^2)(x^6 + x^3y^2 + y^4) - 6x^3y^2$

Из условия задачи мы знаем, что $x^3 - y^2 = 2$. Подставим это значение в наше выражение:

$2 \cdot (x^6 + x^3y^2 + y^4) - 6x^3y^2$

Раскроем скобки и упростим:

$2x^6 + 2x^3y^2 + 2y^4 - 6x^3y^2 = 2x^6 - 4x^3y^2 + 2y^4$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(x^6 - 2x^3y^2 + y^4)$

Выражение в скобках является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x^3$ и $b = y^2$, поэтому:

$x^6 - 2x^3y^2 + y^4 = (x^3)^2 - 2(x^3)(y^2) + (y^2)^2 = (x^3 - y^2)^2$

Подставим это обратно в наше выражение:

$2(x^3 - y^2)^2$

И снова используем условие $x^3 - y^2 = 2$:

$2 \cdot (2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$

Ответ: 8