Номер 825, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 825, страница 140.

Условие.

825. Докажите, что значение выражения:

1) $341^3 + 109^3$ делится нацело на 90;

2) $2^{15} + 3^3$ делится нацело на 35.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для доказательства того, что значение выражения $341^3 + 109^3$ делится нацело на 90, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу, где $a = 341$ и $b = 109$:

$341^3 + 109^3 = (341 + 109)(341^2 - 341 \cdot 109 + 109^2)$.

Вычислим значение первого множителя, который представляет собой сумму в первых скобках:

$341 + 109 = 450$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$450 \cdot (341^2 - 341 \cdot 109 + 109^2)$.

Поскольку один из множителей этого произведения, число 450, делится нацело на 90 ($450 : 90 = 5$), то и всё произведение делится нацело на 90. Второй множитель $(341^2 - 341 \cdot 109 + 109^2)$ является целым числом, так как это результат операций над целыми числами.

Ответ: доказано, что значение выражения $341^3 + 109^3$ делится нацело на 90.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $2^{15} + 3^3$ делится нацело на 35, преобразуем его так, чтобы можно было применить формулу суммы кубов.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, представим слагаемое $2^{15}$ в виде куба некоторого числа:

$2^{15} = 2^{5 \cdot 3} = (2^5)^3$.

Вычислим значение основания $2^5$:

$2^5 = 32$.

Теперь исходное выражение можно записать как сумму кубов:

$(2^5)^3 + 3^3 = 32^3 + 3^3$.

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 32$ и $b = 3$:

$32^3 + 3^3 = (32 + 3)(32^2 - 32 \cdot 3 + 3^2)$.

Вычислим значение первого множителя:

$32 + 3 = 35$.

Таким образом, выражение равно произведению:

$35 \cdot (32^2 - 32 \cdot 3 + 3^2)$.

Поскольку один из множителей этого произведения равен 35, то и всё произведение делится нацело на 35.

Ответ: доказано, что значение выражения $2^{15} + 3^3$ делится нацело на 35.