Номер 821, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 821, страница 139.

Условие.

821. Поставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество:

1) $(7k-p)(*+*+*) = 343k^3 - p^3;$

2) $(*+*)(25a^4 - * + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3;$

3) $(mn+*)(*-*+k^6) = m^3n^3 + k^9.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(7k - p)(* + * + *) = 343k^3 - p^3$

Данное тождество представляет собой формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Правая часть уравнения $343k^3 - p^3$ может быть представлена как $(7k)^3 - p^3$.

Отсюда мы можем определить, что $a = 7k$ и $b = p$.

Первый множитель в левой части, $(7k - p)$, соответствует $(a - b)$.

Второй множитель должен быть неполным квадратом суммы, то есть $(a^2 + ab + b^2)$.

Найдем одночлены, которые должны стоять вместо звёздочек:

Первый одночлен: $a^2 = (7k)^2 = 49k^2$.

Второй одночлен: $ab = (7k)(p) = 7kp$.

Третий одночлен: $b^2 = p^2$.

Таким образом, выражение в скобках будет $(49k^2 + 7kp + p^2)$.

Полное тождество выглядит так: $(7k - p)(49k^2 + 7kp + p^2) = 343k^3 - p^3$.

Ответ: Вместо звёздочек нужно подставить одночлены $49k^2$, $7kp$ и $p^2$.

2) $(* + *)(25a^4 - * + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3$

Данное тождество представляет собой формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Правая часть уравнения $125a^6 + 216b^3$ может быть представлена как $(5a^2)^3 + (6b)^3$.

Отсюда мы можем определить, что $a = 5a^2$ и $b = 6b$.

Первый множитель в левой части должен быть суммой этих выражений, то есть $(a + b) = (5a^2 + 6b)$.

Значит, первые две звёздочки — это $5a^2$ и $6b$.

Второй множитель должен быть неполным квадратом разности, то есть $(a^2 - ab + b^2)$.

Проверим известные члены во второй скобке: $a^2 = (5a^2)^2 = 25a^4$ и $b^2 = (6b)^2 = 36b^2$. Они соответствуют заданным.

Найдем недостающий средний член: $-ab = -(5a^2)(6b) = -30a^2b$.

Таким образом, третья звёздочка — это $30a^2b$.

Полное тождество выглядит так: $(5a^2 + 6b)(25a^4 - 30a^2b + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3$.

Ответ: Вместо звёздочек нужно подставить одночлены $5a^2$, $6b$ и $30a^2b$.

3) $(mn + *)(* - * + k^6) = m^3n^3 + k^9$

Это тождество также является формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Правая часть уравнения $m^3n^3 + k^9$ может быть представлена как $(mn)^3 + (k^3)^3$.

Отсюда мы можем определить, что $a = mn$ и $b = k^3$.

Первый множитель в левой части должен быть $(a + b) = (mn + k^3)$.

Значит, первая звёздочка — это $k^3$.

Второй множитель должен быть неполным квадратом разности $(a^2 - ab + b^2)$.

Последний член во второй скобке $k^6$ соответствует $b^2 = (k^3)^2 = k^6$.

Найдем недостающие члены во второй скобке:

Первый член: $a^2 = (mn)^2 = m^2n^2$.

Средний член: $ab = (mn)(k^3) = mnk^3$.

Таким образом, вторая скобка имеет вид $(m^2n^2 - mnk^3 + k^6)$.

Полное тождество выглядит так: $(mn + k^3)(m^2n^2 - mnk^3 + k^6) = m^3n^3 + k^9$.

Ответ: Вместо звёздочек нужно подставить одночлены $k^3$, $m^2n^2$ и $mnk^3$.