Номер 815, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 815, страница 139.

Условие.

815. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $(9a^2 + 3a + 1)(3a - 1)$, если $a = \frac{1}{3}$.

2) $(5y - 2)(25y^2 + 10y + 4) + 8$, если $y = -\frac{1}{5}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Сначала упростим выражение $(9a^2 + 3a + 1)(3a - 1)$. Это выражение соответствует формуле разности кубов $(x^3 - y^3) = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. В данном случае, если $x = 3a$ и $y = 1$, то выражение $(9a^2 + 3a + 1)(3a - 1)$ можно представить как $((3a)^2 + 3a \cdot 1 + 1^2)(3a - 1)$, что равно $(3a)^3 - 1^3$.
Упростим полученное выражение: $(3a)^3 - 1^3 = 27a^3 - 1$.
Теперь найдем значение этого выражения при $a = \frac{1}{3}$. Подставим значение $a$ в упрощенное выражение:
$27a^3 - 1 = 27 \cdot (\frac{1}{3})^3 - 1 = 27 \cdot \frac{1}{27} - 1 = 1 - 1 = 0$.
Ответ: 0

2) Сначала упростим выражение $(5y - 2)(25y^2 + 10y + 4) + 8$. Первая часть выражения, $(5y - 2)(25y^2 + 10y + 4)$, является формулой разности кубов $(x^3 - y^3) = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. Здесь $x=5y$ и $y=2$. Проверим: $x^2 = (5y)^2 = 25y^2$, $xy = 5y \cdot 2 = 10y$, $y^2 = 2^2 = 4$. Таким образом, $(5y - 2)(25y^2 + 10y + 4) = (5y)^3 - 2^3 = 125y^3 - 8$.
Теперь вернемся к исходному выражению и подставим упрощенную часть:
$(125y^3 - 8) + 8 = 125y^3 - 8 + 8 = 125y^3$.
Найдем значение полученного выражения при $y = -\frac{1}{5}$. Подставим значение $y$:
$125y^3 = 125 \cdot (-\frac{1}{5})^3 = 125 \cdot (-\frac{1^3}{5^3}) = 125 \cdot (-\frac{1}{125}) = -1$.
Ответ: -1