Номер 811, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 811, страница 138.

Условие.

811. Разложите на множители:

1) $a^6 - 8$;

2) $m^{12} + 27$;

3) $a^3 - b^{15}c^{18}$;

4) $1 - a^{21}b^9$;

5) $125c^3d^3 + 0,008b^3$;

6) $\frac{64}{729}x^3 - \frac{27}{1000}y^6$.

Решение 1.

Решение 5.

1) $a^6 - 8$;
Представим данное выражение в виде разности кубов. Для этого воспользуемся свойством степеней $(x^m)^n = x^{mn}$.
$a^6$ можно записать как $(a^2)^3$.
Число 8 можно записать как $2^3$.
Таким образом, выражение принимает вид: $(a^2)^3 - 2^3$.
Применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
В нашем случае $A = a^2$ и $B = 2$.
Подставляем в формулу: $(a^2 - 2)((a^2)^2 + a^2 \cdot 2 + 2^2) = (a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$.
Ответ: $(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$.

2) $m^{12} + 27$;
Представим данное выражение в виде суммы кубов.
$m^{12}$ можно записать как $(m^4)^3$.
Число 27 можно записать как $3^3$.
Таким образом, выражение принимает вид: $(m^4)^3 + 3^3$.
Применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
В нашем случае $A = m^4$ и $B = 3$.
Подставляем в формулу: $(m^4 + 3)((m^4)^2 - m^4 \cdot 3 + 3^2) = (m^4 + 3)(m^8 - 3m^4 + 9)$.
Ответ: $(m^4 + 3)(m^8 - 3m^4 + 9)$.

3) $a^3 - b^{15}c^{18}$;
Представим это выражение как разность кубов.
$a^3$ уже является кубом.
$b^{15}c^{18}$ можно представить как $(b^5c^6)^3$, так как $(b^5)^3=b^{15}$ и $(c^6)^3=c^{18}$.
Выражение принимает вид: $a^3 - (b^5c^6)^3$.
Применим формулу разности кубов, где $A = a$ и $B = b^5c^6$.
$(a - b^5c^6)(a^2 + a(b^5c^6) + (b^5c^6)^2) = (a - b^5c^6)(a^2 + ab^5c^6 + b^{10}c^{12})$.
Ответ: $(a - b^5c^6)(a^2 + ab^5c^6 + b^{10}c^{12})$.

4) $1 - a^{21}b^9$;
Представим это выражение как разность кубов.
$1$ можно записать как $1^3$.
$a^{21}b^9$ можно представить как $(a^7b^3)^3$, так как $(a^7)^3=a^{21}$ и $(b^3)^3=b^9$.
Выражение принимает вид: $1^3 - (a^7b^3)^3$.
Применим формулу разности кубов, где $A = 1$ и $B = a^7b^3$.
$(1 - a^7b^3)(1^2 + 1 \cdot a^7b^3 + (a^7b^3)^2) = (1 - a^7b^3)(1 + a^7b^3 + a^{14}b^6)$.
Ответ: $(1 - a^7b^3)(1 + a^7b^3 + a^{14}b^6)$.

5) $125c^3d^3 + 0,008b^3$;
Представим выражение как сумму кубов.
$125c^3d^3$ можно записать как $(5cd)^3$.
$0,008b^3$ можно записать как $(0,2b)^3$, так как $0,2^3 = 0,008$.
Выражение принимает вид: $(5cd)^3 + (0,2b)^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $A = 5cd$ и $B = 0,2b$.
$(5cd + 0,2b)((5cd)^2 - (5cd)(0,2b) + (0,2b)^2) = (5cd + 0,2b)(25c^2d^2 - cdb + 0,04b^2)$.
Ответ: $(5cd + 0,2b)(25c^2d^2 - cdb + 0,04b^2)$.

6) $\frac{64}{729}x^3 - \frac{27}{1000}y^6$.
Представим выражение как разность кубов.
Первый член: $\frac{64}{729}x^3 = (\frac{4}{9}x)^3$, так как $4^3 = 64$ и $9^3 = 729$.
Второй член: $\frac{27}{1000}y^6 = (\frac{3}{10}y^2)^3$, так как $3^3 = 27$, $10^3 = 1000$ и $(y^2)^3 = y^6$.
Выражение принимает вид: $(\frac{4}{9}x)^3 - (\frac{3}{10}y^2)^3$.
Применим формулу разности кубов, где $A = \frac{4}{9}x$ и $B = \frac{3}{10}y^2$.
$(\frac{4}{9}x - \frac{3}{10}y^2)((\frac{4}{9}x)^2 + (\frac{4}{9}x)(\frac{3}{10}y^2) + (\frac{3}{10}y^2)^2)$.
Упростим второй множитель:
$(\frac{4}{9}x)^2 = \frac{16}{81}x^2$
$(\frac{4}{9}x)(\frac{3}{10}y^2) = \frac{12}{90}xy^2$, сократив на 6, получим $\frac{2}{15}xy^2$
$(\frac{3}{10}y^2)^2 = \frac{9}{100}y^4$
Таким образом, разложение на множители имеет вид:
$(\frac{4}{9}x - \frac{3}{10}y^2)(\frac{16}{81}x^2 + \frac{2}{15}xy^2 + \frac{9}{100}y^4)$.
Ответ: $(\frac{4}{9}x - \frac{3}{10}y^2)(\frac{16}{81}x^2 + \frac{2}{15}xy^2 + \frac{9}{100}y^4)$.