Номер 804, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 804, страница 137.

Условие.

804. Является ли тождеством равенство:

1) $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 + xy + y^2)$;

2) $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - 2xy + y^2)$;

3) $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$;

4) $x^3 - y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$?

Решение 1.

Решение 5.

1) Чтобы проверить, является ли равенство $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 + xy + y^2)$ тождеством, преобразуем его правую часть, раскрыв скобки:
$(x + y)(x^2 + xy + y^2) = x(x^2 + xy + y^2) + y(x^2 + xy + y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 + x^2y + xy^2 + y^3$.
После приведения подобных слагаемых получаем:
$x^3 + (x^2y + x^2y) + (xy^2 + xy^2) + y^3 = x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3$.
Полученное выражение $x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3$ не равно левой части $x^3 + y^3$. Следовательно, данное равенство не является тождеством.
Ответ: не является тождеством.

2) Чтобы проверить, является ли равенство $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - 2xy + y^2)$ тождеством, преобразуем его правую часть:
$(x + y)(x^2 - 2xy + y^2) = x(x^2 - 2xy + y^2) + y(x^2 - 2xy + y^2) = x^3 - 2x^2y + xy^2 + x^2y - 2xy^2 + y^3$.
После приведения подобных слагаемых получаем:
$x^3 + (-2x^2y + x^2y) + (xy^2 - 2xy^2) + y^3 = x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$.
Полученное выражение $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$ не равно левой части $x^3 + y^3$. Следовательно, данное равенство не является тождеством.
Ответ: не является тождеством.

3) Чтобы проверить, является ли равенство $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ тождеством, преобразуем его правую часть:
$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x(x^2 + xy + y^2) - y(x^2 + xy + y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3$.
После приведения подобных слагаемых (противоположные слагаемые $x^2y$ и $-x^2y$, а также $xy^2$ и $-xy^2$ взаимно уничтожаются):
$x^3 + (x^2y - x^2y) + (xy^2 - xy^2) - y^3 = x^3 - y^3$.
Полученное выражение $x^3 - y^3$ совпадает с левой частью. Это равенство верно для любых значений $x$ и $y$ и является формулой сокращенного умножения «разность кубов».
Ответ: является тождеством.

4) Чтобы проверить, является ли равенство $x^3 - y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ тождеством, преобразуем его правую часть:
$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x(x^2 - xy + y^2) + y(x^2 - xy + y^2) = x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3$.
После приведения подобных слагаемых (противоположные слагаемые $-x^2y$ и $x^2y$, а также $xy^2$ и $-xy^2$ взаимно уничтожаются):
$x^3 + (-x^2y + x^2y) + (xy^2 - xy^2) + y^3 = x^3 + y^3$.
Полученное выражение $x^3 + y^3$ (формула суммы кубов) не равно левой части $x^3 - y^3$. Следовательно, данное равенство не является тождеством.
Ответ: не является тождеством.