Номер 3, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 3, страница 137.

Условие.

3. Сформулируйте правило разложения на множители суммы кубов двух выражений.

Решение 1.

Решение 5.

Правило разложения на множители суммы кубов двух выражений формулируется следующим образом: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

В виде формулы это правило записывается так:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

В этой формуле выражение $a^2 - ab + b^2$ называется неполным квадратом разности выражений $a$ и $b$. Оно отличается от полного квадрата разности, который равен $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, тем, что удвоенное произведение заменено на простое произведение.

Для доказательства этой формулы достаточно раскрыть скобки в правой части равенства и убедиться, что оно тождественно равно левой части:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$.

После приведения подобных слагаемых $(-a^2b + a^2b = 0$ и $ab^2 - ab^2 = 0)$ мы получаем исходное выражение $a^3 + b^3$. Тождество доказано.

Рассмотрим применение правила на примере. Разложим на множители выражение $x^3 + 27$.
Первым шагом представим оба слагаемых в виде кубов: $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$.
В данном случае $a = x$, а $b = 3$. Теперь подставим эти значения в формулу суммы кубов:
$x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - x \cdot 3 + 3^2) = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.

Еще один пример: разложим на множители $8m^6 + 125n^9$.
Представим слагаемые в виде кубов: $8m^6 = (2m^2)^3$ и $125n^9 = (5n^3)^3$.
Здесь $a = 2m^2$ и $b = 5n^3$. Применим формулу:
$(2m^2)^3 + (5n^3)^3 = (2m^2 + 5n^3)((2m^2)^2 - (2m^2)(5n^3) + (5n^3)^2) = (2m^2 + 5n^3)(4m^4 - 10m^2n^3 + 25n^6)$.

Ответ: Правило разложения на множители суммы кубов двух выражений гласит, что сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. В виде формулы: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.