Номер 803, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 803, страница 137.

Условие.

803. Какое из данных выражений является неполным квадратом суммы, а какое – неполным квадратом разности:

1) $m^2 + 2mn + n^2$;

2) $m^2 + mn - n^2$;

3) $m^2 + mn + n^2$;

4) $m^2 - 4mn + n^2$;

5) $m^2 - mn + n^2$;

6) $m^2 - 2mn + n^2$?

Решение 1.

Решение 5.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо знать определения неполного квадрата суммы и неполного квадрата разности. Эти понятия связаны с формулами сокращенного умножения для суммы и разности кубов.

Неполный квадрат суммы двух выражений $a$ и $b$ — это многочлен вида $a^2 + ab + b^2$. Он является множителем в формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Неполный квадрат разности двух выражений $a$ и $b$ — это многочлен вида $a^2 - ab + b^2$. Он является множителем в формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Ключевое отличие неполных квадратов от полных квадратов заключается в коэффициенте при произведении выражений. Для полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ этот коэффициент равен 2 или -2.

Проанализируем каждое из данных выражений:

1) $m^2 + 2mn + n^2$
Это выражение является полным квадратом суммы, так как в точности соответствует формуле $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.
Ответ: Полный квадрат суммы.

2) $m^2 + mn - n^2$
Это выражение не является ни неполным квадратом суммы, ни неполным квадратом разности. В формулах неполных и полных квадратов квадраты обоих выражений ($m^2$ и $n^2$) должны быть положительными, а здесь член $-n^2$ имеет знак минус.
Ответ: Не является ни неполным квадратом суммы, ни неполным квадратом разности.

3) $m^2 + mn + n^2$
Это выражение соответствует определению неполного квадрата суммы $m^2 + mn + n^2$. Здесь есть квадраты обоих выражений ($m^2$ и $n^2$) и их произведение ($mn$) с коэффициентом 1.
Ответ: Неполный квадрат суммы.

4) $m^2 - 4mn + n^2$
Это выражение не является ни полным, ни неполным квадратом. Коэффициент при среднем члене $mn$ равен -4, что не соответствует ни неполному квадрату разности (коэффициент -1), ни полному квадрату разности (коэффициент -2).
Ответ: Не является ни неполным квадратом суммы, ни неполным квадратом разности.

5) $m^2 - mn + n^2$
Это выражение соответствует определению неполного квадрата разности $m^2 - mn + n^2$. Здесь есть квадраты обоих выражений ($m^2$ и $n^2$) и их произведение ($mn$) со знаком минус и коэффициентом 1.
Ответ: Неполный квадрат разности.

6) $m^2 - 2mn + n^2$
Это выражение является полным квадратом разности, так как в точности соответствует формуле $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.
Ответ: Полный квадрат разности.